La somme des 1/k^2

Publié le 19/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2016)
  1. Établir : {\forall\, x\in \mathbb{R}\backslash \pi \mathbb{Z}}, {D_{n}(x)=\dfrac{1}{2}+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\cos (2kx)=\dfrac{\sin \big((2n\!+\!1)x\big)}{2\sin(x)}.}
  2. Montrer que : {\forall\, \varphi \in \mathcal{C}^{1}([0,\pi/2 ],\mathbb{R})}, {\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}\int_{0}^{\pi/2}\varphi(x)\sin (\lambda x)\,\text{d}x=0}.
  3. Exprimer {\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}xD_{2n}(x)\,\text{d}x} sous forme d’une somme. En déduire {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.

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