Étude d’une suite récurrente

Publié le 15/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Soit pour {n\in\mathbb{N}^{*}}, {f_{n}\colon x\in\mathbb{R}^{+}\mapsto \dfrac{x}{1+nx^{2}}}.

On choisit {u_{1}\in\mathbb{R}^{+*}} et on pose {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;u_{n+1}= f_{n}(u_{n})}.

  1. Montrer que la suite {(u_{n})} est décroissante et de limite {0}.
  2. Montrer que {0\lt nu_{n}\le1} (pour tout entier {n\ge2}).
  3. Montrer que la suite {(nu_{n})} est croissante et trouver un équivalent de {u_{n}}.

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