Équivalents et intégrales

Publié le 15/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)

  1. Déterminer la nature de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t} et {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t}\,\text{d}t}.
  2. Soit {g\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C})}, 2\pi-périodique, telle que {\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}g(t)\,\text{d}t = 0}.
    Montrer que {G\,\colon x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{x}g(t)\,\text{d}t} est périodique.
  3. Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.

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