Diagonalisabilité de A^2

Publié le 15/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
  1. Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
    Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
  2. Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} et {B={A}^{\top}A}.
    Montrer que {\text{Sp}(B)\subset\mathbb{R}^{+}} et que {\text{Ker}(B) = \text{Ker}(A)}.
  3. On suppose dans la suite que {A} est antisymétrique réelle, donc {B=-A^{2}}.
    Montrer que les valeurs propres de {A} sont imaginaires pures.
    Montrer que {A^{2}}, puis A, sont diagonalisables dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.

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