A4=A2 et diagonalisabilité

Publié le 18/05/17

(cet exercice est issu de l’oral XCachan Psi 2016)
Soit {A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et {A^{4}=A^{2}}.
Montrer que {A} est diagonalisable. Cela reste-t-il vrai si {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}}), avec {n\ge4}?
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