Trace de M → AMB

Publié le 19/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Ensam Psi 2011)
Soient {A,B} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})\mapsto AMB}. Calculer {\text{tr}(\Phi)}.
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} de sa base canonique {(E_{i,j})_{1\le i,j\le n}}.

On a alors {\text{tr}(\Phi)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=1}^n[\Phi(E_{i,j})]_{i,j}}, et on trouve : {\begin{array}{rl}[\Phi(E_{i,j})]_{i,j}&=[AE_{i,j}B]_{i,j}\\\\&=\displaystyle\sum_{r=1}^n\displaystyle\sum_{s=1}^n[A]_{i,r}[E_{i,j}]_{r,s}[B]_{s,j}=[A]_{i,i}[B]_{j,j}\end{array}}On en déduit finalement : {\begin{array}{rl}\text{tr}(\Phi)&=\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=1}^n[A]_{i,i}[B]_{j,j}\\\\&=\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^n[A]_{i,i}\Bigr)\Bigl(\displaystyle\sum_{j=1}^n[B]_{j,j}\Bigr)=\text{tr}(A)\,\text{tr}(B)\end{array}}