Tirages dans une urne

Publié le 21/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2015)
On considère une urne contenant {n-1} boules noires et une boule blanche.

  1. On effectue une succession de tirages avec remise dans cette urne et on note {T} la variable aléatoire donnant le rang du premier tirage amenant la boule blanche. Donner les valeurs prises par {T}, sa loi, son espérance et sa variance.
  2. On effectue maintenant des tirages sans remise.

    • Soit {X} le rang du premier tirage amenant la boule blanche. Donner les valeurs prises par {X}, sa loi, son espérance et sa variance.
    • Soit {Y} le nombre de boules noires restantes après le tirage de la boule blanche. Exprimer {Y} en fonction de {X} et {n}. Donner l’espérance de {Y} ainsi que sa variance.

  1. Les tirages s’effectuant sans remise, la composition de l’urne reste inchangée.

    À chaque tirage, la probabilité d’obtenir la boule blanche est donc {1/n}.

    Ainsi, la variable {T} suit la loi géométrique {\mathcal{G}(1/n)} (rang du premier succès dans une répétition d’épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre {p=1/n}).

    Les résultats suivants sont donc des questions de cours: {\begin{array}{l}T(\Omega)=\mathbb{N}^{*},\;\text{E}(T)=\dfrac{1}{p}=n\\\\\text{V}(T)=\dfrac{q}{p^{2}}=n^{2}\Bigl(1-\dfrac{1}{n}\Bigr)=n(n-1)\end{array}}

    • La boule blanche apparaît au mieux au premier tirage, au pire au {n}-ième).

      On a donc {X(\Omega)=[[1,n]]}.

      • Voici une première idée, mais qui n’est pas la bonne!
        Notons {N_{k}} (resp. {B_{k}}) les variables indicatrices des évènements « la {k}-ème boule est noire (resp. blanche) ».

        Soit {k\in[[ 1,n]]}.

        L’évènement {(X=k)} s’écrit {N_{1}\cap N_{2}\cap\cdots\cap N_{k-1}\cap B_{k}}.

        La formule des probabilités composées donne : {\mathbb{P}(X=k)=\dfrac{n-1}{n}\,\dfrac{n-2}{n-1}\ldots\dfrac{1}{n-(k-1)}=\dfrac{1}{n}}

      • En fait, et le résultat précédent le laisse entendre, il y a beaucoup plus simple.

        Par symétrie du problème, et parce que les boules sont supposées indiscernables, la boule blanche a autant de chances d’apparaître au premier tirage, qu’au deuxième, etc. ou qu’au {n}-ième et dernier tirage.

        Ainsi {X} soit la loi uniforme sur {[[ 1,n]]}.

        On a donc {\text{E}(X)=\dfrac{n+1}{2}} et {\text{V}(X)=\dfrac{n^{2}-1}{12}}.

    • Si {X=k}, c’est qu’on a d’abord tiré {k-1} boules noires avant de tirer la blanche.

      À l’issue de ce {k}-ième tirage, il reste {n-k} boules noires dans l’urne.

      Ainsi {Y=n-X}.

      Il en résulte : {\text{E}(Y)=n-\text{E}(X)=\dfrac{n-1}{2}} et {\text{V}(Y)=\text{V}(X)=\dfrac{n^{2}-1}{12}}.