Suite des itérées d’une fonction

Publié le 21/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {\varphi:x\in\,[0,1]\mapsto 2x (1-x)}.
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^*}, {\varphi_n =\varphi\circ\cdots \circ \varphi} ({n} fois).

  1. Que peut on dire de la convergence simple de la suite {(\varphi_n)_{n\geq 1}} sur {[0,1]} ?
  2. Étudier la convergence uniforme, éventuellement sur un sous-intervalle.

  1. L’intervalle {[0,1]} est stable par {\varphi}. Plus précisément: {\forall\, x\in [0,1],\;0\le\varphi(x)\le\dfrac{1}{2}}.

    Pour tout {x} de {[0,1]}, la suite {(\varphi_n(x))_{n\ge 1}} est donc à valeurs dans {\Bigl[0,\dfrac{1}{2}\Bigr]}.

    On a tracé successivement les courbes représentatives des {\varphi_n}, pour {n\in\{1,2,3,4\}}:

    Centrale2010-fig01

    Centrale2010-fig02

    Centrale2010-fig03

    Centrale2010-fig04

    L’égalité {\varphi(1-x)=\varphi(x)} (symétrie par rappport à {x=\dfrac{1}{2}}) implique : {\forall\, n\ge 1,\;\varphi_n(1-x)=\varphi_n(x)}Pour étudier la convergence simple sur {[0,1]}, on peut donc se limiter à {0\le x\le \dfrac{1}{2}}.

    Par ailleurs {\begin{cases}\varphi(0)=0\\\varphi(1/2)=1/2\end{cases}} donc {\begin{cases}\varphi_n(0)=0\\\varphi_n(1/2)=1/2\end{cases}} pour tout {n\ge1}.

    On fixe donc {x} dans {\Bigl]0,\dfrac{1}{2}\Bigr[}.

    On remarque que : \forall x\in\Bigl]0,\dfrac{1}{2}\Bigr[,\;\varphi(x)\in\Bigl]0,\dfrac{1}{2}\Bigr[ et : \varphi(x)-x=2x(1-x)-x=x(1-2x)>0On a alors, pour tout n\ge 1 : {\begin{array}{rl}\varphi_{n+1}(x)-\varphi_n(x)&=\varphi(\varphi_{n}(x))-\varphi_n(x)\\\\&=\varphi_n(x)\bigl(1-2\varphi_n(x)\bigr)>0\end{array}}Ainsi la suite {n\mapsto \varphi_n(x)} est (strictement) croissante dans {\Bigl]0,\dfrac{1}{2}\Bigr[} donc convergente.

    Sa limite {\ell_x>0} vérifie {\varphi(\ell_x)=\ell_x}, donc {\ell_x(1-2\ell_x)=0}, donc {\ell_x=\dfrac{1}{2}}.

    Ainsi (connaissant la symétrie par rapport à {1/2}), la suite {(\varphi_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {[0,1]} vers la fonction {\psi} définie par {\psi(0)=\psi(1)=0} et : {\forall\, x\in\,]0,1[,\;\psi(x)=\dfrac{1}{2}}.

  2. Les fonctions {\varphi_n} étant continues sur {[0,1]}, mais la fonction {\psi} n’étant pas continue aux extrémités de ce segment, la convergence de {(\varphi_n)_{n\ge1}} vers la fonction {\psi} n’est pas uniforme sur {[0,1]}.

    Montrons en fait qu’il y a convergence uniforme sur {I_a=[a,1-a]} pour tout {a} de {\Bigl]0,\dfrac{1}{2}\Big]}.

    Chaque {\varphi_n}, à valeurs dans {\Bigl[0,\dfrac{1}{2}\Big]}, est croissante sur {\Bigl[0,\dfrac{1}{2}\Big]}, décroissante sur {\Bigl[\dfrac{1}{2},0\Big]}.

    De plus elle vérifie {\varphi_n(x)=\varphi_n(1-x)}.

    On en déduit : {\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;\forall\, x\in I_a,\;0\le \dfrac{1}{2}-\varphi_n(x)\le \dfrac{1}{2}-\varphi_n(a)}.

    Mais on sait que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\varphi_n(a)=\dfrac{1}{2}}. Ainsi {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sup_{x\in I_a}\left|{\dfrac{1}{2}-\varphi(x)}\right|=0}.

    La suite {(\varphi_n)_{n\ge1}} converge donc uniformément sur {I_a} vers la fonction constante {\dfrac{1}{2}}.