Suite des itérées d’une fonction

Publié le 21/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {\varphi:x\in\,[0,1]\mapsto 2x (1-x)}.
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^*}, {\varphi_n =\varphi\circ\cdots \circ \varphi} ({n} fois).

  1. Que peut on dire de la convergence simple de la suite {(\varphi_n)_{n\geq 1}} sur {[0,1]} ?
  2. Étudier la convergence uniforme, éventuellement sur un sous-intervalle.

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