Réduction d’une matrice par blocs

Publié le 16/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Ensam Psi 2011)
Donner les éléments propres de {A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}} et de {B=\begin{pmatrix}A&A&A\\A&A&A\\A&A&A\end{pmatrix}}.
On a {R^{-1}AR=\Delta}, où {\Delta=\begin{pmatrix} 3&0\\0&-1\end{pmatrix}}, {R=\begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1\end{pmatrix}} et {R^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1 \end{pmatrix}}.

Soit {M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}. On a {P^{-1}MP=D}, avec :
{D=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\ P=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&0\\ 1&0&-1\end{pmatrix},\ P^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}}Posons alors {Q=\begin{pmatrix}I_2&I_2&I_2\\ I_2&-I_2&0_2\\ I_2&0_2&-I_2\end{pmatrix}}.

On vérifie (faire le produit par blocs) que {Q^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} I_2&I_2&I_2\\ I_2&-2I_2&I_2\\I_2&I_2&-2I_2\end{pmatrix}}.

On trouve {Q^{-1}BQ=\begin{pmatrix}3A&0_2&0_2\\0_2&0_2&0_2\\0_2&0_2&0_2\end{pmatrix}}.

Posons enfin {S=\begin{pmatrix} R&0_2&0_2\\ 0_2&I_2&0_2\\0_2&0_2&I_2\end{pmatrix}} donc {S^{-1}=\begin{pmatrix} R^{-1}&0_2&0_2\\ 0_2&I_2&0_2\\0_2&0_2&I_2\end{pmatrix}}.

Avec ces notations, on trouve :{(QS)^{-1}B(QS)=S^{-1}Q^{-1}BQS=\begin{pmatrix}3R^{-1}AR&0_2&0_2\\0_2&0_2&0_2\\0_2&0_2&0_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\Delta&0_2&0_2\\0_2&0_2&0_2\\0_2&0_2&0_2\end{pmatrix}} et cette matrice est diagonale.

Les valeurs propres de {B} sont {9} (double), {-3} (double) et {0} (quadruple).

On a {QS=\begin{pmatrix}I_2&I_2&I_2\\ I_2&-I_2&0_2\\ I_2&0_2&-I_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} R&0_2&0_2\\ 0_2&I_2&0_2\\0_2&0_2&I_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3R&I_2&I_2\\ R&-I_2&0_2\\ R&0_2&-I_2\end{pmatrix}}.

Les colonnes de QS forment une base de vecteurs propres de {B}.