Racine de matrice nilpotente

Publié le 15/04/17

(cet exercice – court et classique – est issu de l’oral Ensam Psi 2012)
Existe-t-il {B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})} telle que {B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}?
On suppose par l’absurde qu’une telle matrice existe.

Alors {B^4=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}} puis {B^6=0}, donc {B} est nilpotente.

La matrice {B}, nilpotente de taille {3}, vérifie donc {B^3=0} (classique).

Mais c’est incompatible avec {B^4\ne0}.