Primitives de (x+√(x^2-1))^3

Publié le 17/04/17

(cet exercice – un peu désuet – est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Déterminer les primitives de {x\mapsto f(x)=\left( x+\sqrt{x^2-1}\right)^3}.
On commence par développer f(x) : {\begin{array}{rl}f(x)&=x^{3}+3x^{2}\sqrt{x^2-1}+3x(x^{2}-1)+(x^{2}-1)\sqrt{x^2-1}\\\\&=4x^{3}-3x+(4x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-1}\end{array}}On cherche une primitive de {(4x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-1}} sous la forme {g(x)(x^{2}-1)^{3/2}}.

On trouve {(4x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-1}=\bigl((x^{2}-1)g'(x)+3xg(x)\bigr)\sqrt{1-x^{2}}}.

On constate innocemment que {g(x)=x} convient.

On en déduit les primitives de f : {\displaystyle\int\big(x+\sqrt{x^2-1}\bigr)^3\,\text{d}x=x^{4}-\dfrac{3}{2}x^{2}+x(x^{2}-1)^{3/2}+K}