Matrice inversible? diagonalisable?

Publié le 17/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soient {(a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4} non tous nuls et A=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\phantom{-}a&\phantom{-}d&-c\\c&-d&\phantom{-}a&\phantom{-}b\\d&\phantom{-}c&-b&-a\end{pmatrix}.
La matrice {A} est-elle inversible ? Déterminer son polynôme caractéristique.
Est-elle diagonalisable dans {\mathcal{M}_4(\mathbb{R})} ?
Posons {m=\sqrt{b^2+c^2+d^2}}. On trouve facilement : {\begin{array}{rl}\chi_{A}(X)&=\det(XI_4-A)\\\\&=(X^2+m^2-a^2)((X-a)^2+m^2)\end{array}}En particulier \det(A)=\chi_{A}(0)=(m^2-a^2)(m^2+a^2)=m^4-a^4.

Ainsi A est inversible si et seulement si a^2\ne b^2+c^2+d^2.

  • Si m=0, c’est-à-dire {(b,c,d)=(0,0,0)}, alors A est diagonale (donc diagonalisable!).
  • Si m\gt0, c’est-à-dire {(b,c,d)\ne(0,0,0)}, alors {\chi_{A}} n’est pas scindé dans \mathbb{R}[X].
    Dans ce cas la matrice {A} n’est donc pas diagonalisable dans {\mathcal{M}_4(\mathbb{R})}.

Merci à Christophe Kiehl pour m’avoir signalé une erreur dans mon corrigé initial.