Jetons bicolores

Publié le 07/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Ensam Psi 2015)
On dispose {n} jetons sur une table. Ils ont une face bleue et une face blanche.
Au départ, il y a {b} faces bleues. On prend au hasard un jeton, puis un second (sans remise). Si le deuxième est d’une couleur différente de celle du premier, on le retourne.
Soit {X_{k}} le nombre de faces bleues après {k} tirages.

  1. Écrire un programme qui en fonction de {n, b, k}, retourne {X_{k}}.
    L’exécuter {100} fois pour {n, b, k} entre {2} et {10}, faire un graphique.
  2. On choisit ici {n = 4}. On note :
    {U_{k}=(\mathbb{P}(X_{k}=0),\,\mathbb{P}(X_{k}=1),\,\mathbb{P}(X_{k}=2),\,\mathbb{P}(X_{k}=3),\mathbb{P}(X_{k}=4))}.
    Trouver une matrice {A} telle que {U_{k+1}=AU_{k}}. Déterminer {\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}U_{k}}.

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