Équivalent d’une somme de série

Publié le 13/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Ensam Psi 2013)
Soit {f\colon x\mapsto\text{e}^{-x^{2}}}. Préciser la nature de la série de fonctions {\displaystyle\sum_{n\ge0}f(nx)}.
Montrer que: {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f(nx)\sim \dfrac{\sqrt\pi}{2x}} quand x\to0^{+}.
Posons {f_n(x)=f(nx)=\text{e}^{-n^2x^2}}. On a {f_n(0)=1}.

Ensuite : {\left|{x}\right|\ge a>0\Rightarrow\left|{f_n(x)}\right|\le \text{e}^{-n^2a^2}} (terme général d’une série convergente).

Ainsi {\displaystyle\sum f_n} converge simplement sur {\mathbb{R}^*}.

La convergence est normale sur {]-\infty,a]\cup[a,+\infty[} pour tout {a>0}.

Tout comme la fonction {f}, donc les {f_n}, la somme {S} de cette série est paire.

La convergence uniforme assure la continuité de {S} pour {\left|{x}\right|\ge a>0} pour tout {a>0}.

Il en résulte la continuité de S sur {\mathbb{R}^*} (caractère local).

Pour un équivalent de {S} en {0^+}, on utilise une comparaisons avec des intégrales.

On fixe {x>0}. La fonction {t\mapsto\text{e}^{-t^2x^2}} décroît sur {\mathbb{R}^+} donc :
{\forall\, n\in\mathbb{N},\;\displaystyle\int_{n}^{n+1}\text{e}^{-t^2x^2}\,\text{d}t\le \text{e}^{-n^2x^2}\le \displaystyle\int_{n-1}^n\text{e}^{-t^2x^2}\,\text{d}t} (l’inégalité de droite suppose {n\ge1}).

Par sommation sur {n\ge0}, on a : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^2x^2}\,\text{d}t\le \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f(nx)\le 1+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^2x^2}\,\text{d}t}Le changement de variable {u=tx} donne : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^2x^2}\,\text{d}t=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-u^2}\,\text{d}u=\dfrac{\sqrt\pi}{2x}} (on a utilisé ici la valeur classique de l’intégrale de Gauss).

On a donc obtenu, pour tout {x>0} : {\dfrac{\sqrt\pi}{2x}\le \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f(nx)\le1+\dfrac{\sqrt\pi}{2x}}Ainsi : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f(nx)\sim\dfrac{\sqrt\pi}{2x}} quand x\to0^+.