Endomorphisme intégral

Publié le 21/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Tpe Psi 2010, et Ensam Psi 2011)
Si {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, on pose {\tilde{f}\,\colon x\in[0,1]\mapsto \displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.

  1. Montrer que {\Phi:f\mapsto\tilde{f}} est un endomorphisme de {E}.
    Est-il surjectif, injectif?
  2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de {\Phi}.

  1. Pour tout {f} dans E, et pour tout x dans {[0,1]}, on a : {\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_0^xt f(t) \,\text{d}t-x\displaystyle\int_1^x f(t) \,\text{d}t}Ainsi {\Phi(f)\in{\mathcal C}^1([0,1],\mathbb{R})\varsubsetneq E}. La linéarité de {\Phi} est évidente.

    Le fait que {\text{Im}(\Phi)\varsubsetneq{\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})} prouve que {\Phi} n’est pas surjective.

    On pouvait aussi remarquer que: {\forall\, f\in E,\;\Phi(f)(0)=0}.

    Par ailleurs, pour tout {f} dans E, et pour tout x dans {[0,1]}, on a : {\begin{array}{rl}\Phi(f)'(x)&=xf(x)-\displaystyle\int_1^x f(t) \,\text{d}t-xf(x)\\\\&=-\displaystyle\int_1^x f(t) \,\text{d}t\text{\ donc\ }\Phi(f)'(1)=0\end{array}}On constate que {\Phi(f)'} est {\mathcal{C}^{1}} et que : {\forall x\in[0,1],\;\Phi(f)''(x)=-f(x)}.

    En particulier, si {f\in\text{Ker}(\Phi)}, alors {f=-\Phi(f)''=0} : l’application {\Phi} est injective.

  2. On cherche les valeurs propres {\lambda} de {\Phi} dans {\mathbb{R}} ({\lambda\ne0} car {\Phi} est injective).

    L’égalité {\Phi(f)=\lambda f} implique que {f} est {\mathcal{C}^{2}} et que {\Phi(f)''=\lambda f''} donc {\lambda f''+f=0}

    Elle implique aussi {\begin{cases}0=\Phi(f)(0)=\lambda f(0)\\0=\Phi(f)'(1)=\lambda f'(1)\end{cases}} c’est-à-dire {\begin{cases}f(0)=0\\f'(1)=0\end{cases}}.

    Réciproquement, {\lambda f''+f=0} (càd {\Phi(f)''=\lambda f''}) et {\begin{cases}f(0)=0\\f'(1)=0\end{cases}} donnent {\Phi(f)=\lambda f}.

    • Si {\lambda\lt 0}, {\begin{cases}\lambda f''+f=0\\f(0)=0\end{cases}} donne : {\forall\, x\in[0,1],\; f(x)=A\,\text{sh}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{-\lambda}}\Bigr)}.

      Mais f'(1)=0 exige A=0 : aucun \lambda\lt 0 n’est donc valeur propre de {\Phi}.

    • Si {\lambda>0}, {\begin{cases}\lambda f''+f=0\\f(0)=0\end{cases}} donne : {\forall\, x\in[0,1],\; f(x)=A\sin\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{\lambda}}\Bigr)}.

      Il en découle : {\forall\, x\in[0,1],\;f'(x)=\dfrac{A}{\sqrt{\lambda}}\cos\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{\lambda}}\Bigr)}.

      La condition {f'(1)=0} n’est possible avec {A\ne0} que si {\dfrac{1}{\sqrt{\lambda}}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi}, avec {k\in\mathbb{N}}.

      Les valeurs propres de {\Phi} sont donc les {\lambda_k=\dfrac{4}{(2k+1)^2\pi^2}}, avec {k\in\mathbb{N}}.

      Pour {\lambda_k} le sous-espace propre est la droite engendrée par {f\,\colon x\mapsto \sin\Bigl(\Bigl(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Bigr)x\Bigr)}.