Endomorphisme et trace

Publié le 17/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Ensam Psi 2011)
Soit {f:M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr}(M)I_n-M}.
Déterminer les éléments propres de {f}.
Pour {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, on {\text{tr}(f(M))=(n-1)\text{tr}(M)}.

On en déduit {f^2(M)=(n-1)\text{tr}(M)I_n-f(M)=(n-2)\text{tr}(M)I_n+M}.

Ainsi {f^2(M)-(n-2)f(M)=(n-1)M} donc {f^2-(n-2)f-(n+1)\text{Id}=0}.

Donc {f(P)=0}, où {P(X)=X^2-(n-2)X-(n-1)=(X-n+1)(X+1)}.

Le polynôme annulateur P est scindé simple, donc {f} est diagonalisable.

  • Remarquons que {f(M)=-M\Leftrightarrow \text{tr}(M)=0}.
    Le sous-espace propre de {f} pour {\lambda=-1} est l’hyperplan des matrices de trace nulle.
  • D’autre part {f(I_n)=(n-1)I_n}.
    Le sous-espace propre de {f} pour {\lambda=n-1} est la droite engendrée par {I_n}.