Égalité matricielle et valeurs propres

Publié le 21/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Tpe Psi 2010)
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} vérifiant : {A^2+A+4I_n=0}.
Montrer que {A} n’a pas de valeur propre réelle. Montrer que {n} est pair.
Calculer le déterminant et la trace de {A} en fonction de n.
On a P(A)=0 avec {P=X^2+X+4=(X-\alpha)(X-\overline{\alpha})}{\alpha=\dfrac{-1+i\sqrt{15}}{2}\notin\mathbb{R}}.

Si {\lambda} était une valeur propre réelle de {A}, elle serait racine de {P}, ce qui est absurde.

Les seules valeurs propres de {A}, dans {\mathbb{C}}, sont donc {\alpha} et {\overline{\alpha}}.

Ces valeurs propres ont la même multiplicité {m\ge1} car {A} est réelle.

Ainsi {\chi_{A}(X)=(X-\alpha)^m(X-\overline{\alpha})^m=(X^2+X+4)^m} donc {n=2m} ({n} est pair).

Ensuite {\begin{cases}\text{tr}(A)=m\alpha+m\overline{\alpha}=n\text{Re}(\alpha)=-n/2\\\det(A)=\alpha^m\overline{\alpha}^m=\left|{\alpha}\right|^n=2^n\end{cases}}