Égalité matricielle et déterminant

Publié le 18/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Ensam Psi 2011)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^3+A-I_n=0}.
La matrice {A} est-elle diagonalisable sur {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} ? sur {{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} ?
Montrer que {\det(A)>0}.
La matrice {A} est annulée par le polynôme {P=X^3+X-1}.

Le polynôme {P} possède une racine réelle {0\lt \alpha\lt 1}.

Il possède aussi deux racines complexes conjuguées non réelles {\beta} et {\overline{\beta}}.

Il est {P} est scindé simple dans {\mathbb{C}[X]}, donc {A} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.

La seule possibilité pour que {A} soit diagonalisable sur {{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} est {A=\alpha I_n}.

On a : {\chi_{A}(X)=(X-\alpha)^p(X-\beta)^q(X-\overline{\beta})^q}, avec {p+2q=n}.

On en déduit : {\det(A)=\alpha^p\left|{\beta}\right|^{2q}>0}.