Diagonalisation par blocs

Publié le 21/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et {B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.

  • On suppose que la matrice {A} est diagonalisable.

    Soit {(X_i)_{1\le i\le n}} une base de vecteurs propres de {A} pour les vecteurs propres {(\lambda_i)_{1\le i\le n}}.

    On cherche des vecteurs propres {Y=\begin{pmatrix}\alpha X\\ X\end{pmatrix}} de {B}, où {X\in\mathbb{C}^n} est propre de {A} pour {\lambda}.

    On trouve {BY=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha X\\ X\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2 X\\ (3-\alpha)X\end{pmatrix}}.

    Pour que {BY} et {Y} soient liés, une condition suffisante est :{0=\begin{vmatrix}2&\alpha\\3-\alpha&1 \end{vmatrix}=\alpha^2-3\alpha+2=(\alpha-1)(\alpha-2)}Selon que {\alpha=1} ou {\alpha=2}, on pose {Y_i=\begin{pmatrix} X_i\\ X_i\end{pmatrix}} ou {Y'_i=\begin{pmatrix} 2X_i\\ X_i\end{pmatrix}}, pour {1\le i\le n}.

    Avec ces notations, on a {BY_i=2\lambda_iY_i} et {BY'_i=\lambda_i Y'_i}.

    Il reste à prouver que ces {2n} vecteurs sont libres. Effectivement :
    {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\alpha_iY_i\!+\!\beta_iY'_i)=0\\\\\quad\Rightarrow \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\alpha_i\!+\!2\beta_i)X_i=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\alpha_i\!+\!\beta_i)X_i=0\\\\\quad\Rightarrow\forall\, i\in[[ 1,n]],\begin{cases}\alpha_i+\beta_i=0\\\alpha_i+\beta_i=0\end{cases}\\\\\quad\Rightarrow\forall\, i\in[[ 1,n]],\;\alpha_i=\beta_i=0\end{array}}Ces 2n vecteurs forment donc une base de diagonalisation de {B}.

    Ainsi {B} est diagonalisable. De plus {\text{Sp}(B)=\text{Sp}(A)\cup 2\,\text{Sp}(A)}.

  • Réciproquement, on suppose que {B} est diagonalisable.

    Si {M=\begin{pmatrix}0&2\\-1&3\end{pmatrix}}, on {\chi_{M}(X)=(X-1)(X-2)} et {P^{-1}MP=D} où :{D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix},\ P=\begin{pmatrix} 2&1\\ 1&1\end{pmatrix},\; P^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&2\end{pmatrix}}Posons alors {Q=\begin{pmatrix} 2I_n&I_n\\ I_n&I_n\end{pmatrix}}. On a {Q^{-1}=\begin{pmatrix} I_n&-I_n\\ -I_n&2I_n\end{pmatrix}} et {Q^{-1}BQ=\begin{pmatrix}A&0\\0&2A\end{pmatrix}}.

    La matrice {Q^{-1}BQ} (semblable à {B}) est diagonalisable.

    Il en résulte que {A} est diagonalisable (restriction à un sous-espace stable).

    Après cette réciproque, on a l’équivalence entre la diagonalisabilité de {A} et celle de {B}.