Diagonalisation d’une matrice 4×4

Publié le 17/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Diagonaliser la matrice {A=\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\ ab&a^2&b^2&ab\\ab&b^2&a^2&ab\\b^2&ab& ab&a^2\end{pmatrix}}, avec (a,b)\in\mathbb{C}^2.
On définit (innocemment) {X=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}, {Y=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}}, {Z=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}} et {T=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix}}.

On observe ensuite les égalités {\begin{cases}AX=(a+b)^2X\\AY=(a-b)^2Y\\AZ=(a^2-b^2)Z\\AT=(a^2-b^2)T\end{cases}}

Par ailleurs, la matrice {P=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\ 1&-1&0&1\\ 1&-1&0&-1\\ 1&1&-1&0\end{pmatrix}} des colonnes X,Y,Z,T est inversible.

Ainsi {X,Y,Z,T} est une base de vecteurs propres de {A}.

Plus précisément : {A=PDP^{-1}}, avec {D=\text{diag}((a\!+\!b)^2,(a\!-\!b)^2,a^2\!-\!b^2,a^2\!-\!b^2).}

Remarque : il eut été imprudent de commencer par dire (en vertu du théorème spectral) que A est diagonalisable car elle est symétrique. Elle est peut-être symétrique mais elle n’est pas à coefficients réels, donc cet argument ne s’applique pas.