Diagonalisabilité et blocs

Publié le 17/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et {B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}}.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {B} soit diagonalisable.
On a {\chi_{B}=\chi_{A}^{2}}. Les valeurs propres de {B} sont donc celles de {A} (multiplicités doublées).

On vérifie que {B^{2}=\begin{pmatrix}A^{2}&0\\2A^{2}&A^{2}\end{pmatrix}}, puis {B^{k}=\begin{pmatrix}A^{k}&0\\kA^{k}&A^{k}\end{pmatrix}} par récurrence sur {k}.

Par linéarité, on en déduit {P(B)=\begin{pmatrix}P(A)&0\\AP'(A)&P(A)\end{pmatrix}} pour tout polynôme {P}.

Si {B} est diagonalisable, il existe {P} scindé simple tel que {P(B)=0}.

Avec ces notations, on a donc {P(A)=Q(A)=0} avec Q=XP'.

Ainsi {A} (annulée par {P} scindé simple) est elle-même diagonalisable.

Toute valeur propre {\lambda} de {A} annule donc à la fois {P} et {Q=XP'}.

Mais {P} est à racines simples donc {P} et {P'} n’ont pas de racines communes, donc {\lambda= 0}.

Puisque {A} est diagonalisable, cela implique {A=0}. La réciproque est évidente.

En conclusion : B est diagonalisable si et seulement si A=0.