Un développement de arctan(x)

Publié le 23/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2011)
Montrer que : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}.
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Pour tout x dans ]-1,1[ :
{\begin{array}{rl}\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}&=(1-x^2)^{-1/2}\\\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n!}\Bigl(\dfrac{-1}{2}\Bigr)\Bigl(\dfrac{-3}{2}\Bigr)\cdots\Bigl(\dfrac{1-2n}{2}\Bigr)(-1)^nx^{2n}\\\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^n n!}\big(1\cdot 3\cdots(2n-1)\bigr)x^{2n}\\\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2}x^{2n}\end{array}}
Ainsi, par primitivation : {\forall x\in]-1,1[,\;\arcsin(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}x^{2n+1}}On en déduit, pour tout réel x : {\arcsin\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}Pour {x\in\mathbb{R}}, posons {y=\arcsin\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)}.

Alors {\sin^2(y)=\dfrac{x^2}{1+x^2}}, donc {x^2\cos^2(y)=\sin^2(y)}, donc {y=\arctan(x)}.

Ainsi : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}.