Deux sommes directes

Publié le 17/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soient {f,g} dans {{\mathcal L}(E)}, avec que : {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}.
  1. Montrer que les deux sommes sont directes.
  2. Donner un contre-exemple en dimension infinie.

  1. On applique le théorème de la dimension à {f} et à {g} :
    {\begin{cases}\dim E=\dim \text{Ker} f+\dim\text{Im} f&(1)\cr \dim E=\dim \text{Ker} g+\dim\text{Im} g&(2)\end{cases}}On a ensuite l’implication :
    {\begin{array}{l}\begin{cases}E=\text{Im} f+\text{Im} g\\ E=\text{Ker} f+\text{Ker} g\end{cases}\\\\\Rightarrow\begin{cases}\dim E=\dim\text{Im} f+\dim\text{Im} g-\dim(\text{Im} f\cap\text{Im} g)&(3)\\\dim E=\dim\text{Ker} f+\dim\text{Ker} g-\dim(\text{Ker} f\cap\text{Ker} g)&(4)\end{cases}\end{array}}
    La combinaison {(1)+(2)-(3)-(4)} donne :
    {\dim(\text{Im} f\cap\text{Im} g)+\dim(\text{Ker} f\cap\text{Ker} g)=0}Il en résulte : {\dim(\text{Im} f\cap\text{Im} g)=\dim(\text{Ker} f\cap\text{Ker} g)=0}.

    Le sommes {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g} sont donc directes.

  2. Pour montrer que c’est faux si {\dim E=+\infty}, on se place dans {E=\mathbb{K}[X]}.

    Soit f l’endomorphisme de {\mathbb{K}[X]} défini par {f:P\mapsto f(P)=P''}.

    Soit g l’endomorphisme de {\mathbb{K}[X]} par {g(P)=P(0)}.

    L’application {f} est surjective donc {\text{Im} f=\mathbb{K}[X]}. Son noyau est {\mathbb{K}_1[X]}.

    L’image de {g} est {\mathbb{K}_1[X]} et son noyau est l’ensemble des polynômes divisibles par {X}.

    On a bien {E=\text{Im} f+\text{Im} g}, et cette somme n’est pas directe car {\text{Im} f\cap\text{Im} g=\text{Im} g\ne\{0\}}.

    On a bien {E=\text{Ker} f+\text{Ker} g} (par exemple, {P=P(0)+\bigl(P-P(0)\bigr)} pour tout {P}).

    Enfin {\text{Ker} f\cap\text{Ker} g} est l’ensemble des {\lambda X}, avec {\lambda\in\mathbb{K}}.

    On a donc trouvé, {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que :
    {\begin{cases}E=\text{Im} f+\text{Im} g\\ E=\text{Ker} f+\text{Ker} g\end{cases}\text{\ et\ }\begin{cases}\text{Im} f\cap\text{Im} g\ne\{0\}\\ \text{Ker} f\cap\text{Ker} g\ne\{0\}\end{cases}}