Déterminant et coefficients binomiaux

Publié le 10/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Ensam Psi 2015)
Soient {(m, p)\in\mathbb{N}^{2}} avec {m\ge p\ge 1}.
Soit {A(m,p)= (a_{i,j})_{0\le i,j\le p}\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})}{a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}.
Calculer le déterminant de la matrice {A}.
Le déterminant à calculer (d’ordre {p+1}, avec {m\ge p}) s’écrit : {D(m,p)=\begin{vmatrix}\dbinom m0&\dbinom m1&\ldots&\dbinom mp\\\\\dbinom {m+1}0&\dbinom {m+1}1&\ldots&\dbinom {m+1}p\\\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\\\dbinom {m+p}0&\dbinom {m+p}1&\ldots&\dbinom {m+p}p\end{vmatrix}} Numérotons les lignes de {\text{L}_{0}} à {\text{L}_{p}}, et les colonnes de {\text{C}_{0}} à {\text{C}_{p}}.

On effectue de {i=p} à {i=1} (ordre décroissant des n° de lignes) les opérations {\text{L}_{i}\leftarrow\text{L}_{i}-\text{L}_{i-1}}.

Après ces opérations :

  • Pour {i\in\{1,\ldots,p\}}, {\dbinom{m+i}0=\dbinom{m+i-1}0=1} :

    le terme d’indice {(i,1)} du nouveau déterminant est donc nul.

  • Soient {i} et {j} deux indices quelconques de {\{1,\ldots,p\}}.

    Le terme d’indice {(i,j)} du nouveau déterminant est :
    {\dbinom{m+i}j-\dbinom{m+i-1}j=\dbinom{m+i-1}{j-1}}c’est en fait le terme d’indice {(i-1,j-1)} de l’ancien déterminant.

On en déduit qu’après ces opérations, et en développant suivant {\text{C}_{1}} :
{\begin{array}{rl}D_{m,p}&=\begin{vmatrix} 1&\dbinom m1&\dbinom m2&\ldots&\dbinom mp\\\\ 0&\dbinom{m}{0}&\dbinom m1&\ldots&\dbinom m{p-1}\\\\ 0&\dbinom {m+1}0&\dbinom{m+1}1&\ldots&\dbinom {m+1}{p-1}\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\\ 0&\dbinom {m+p-1}0&\dbinom{m+p-1}1&\ldots&\dbinom {m+p-1}{p-1}\end{vmatrix}\\\\&=\begin{vmatrix}\dbinom m0&\dbinom m1&\ldots&\dbinom{m}{p-1}\\\\ \dbinom {m+1}0&\dbinom {m+1}1&\ldots&\dbinom {m+1}{p-1}\cr\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\\ \dbinom {m+p-1}0&\dbinom{m+p-1}1&\ldots&\dbinom {m+p-1}{p-1}\end{vmatrix}\end{array}}Ainsi : {D_{m,p}=D_{m,p-1}}, donc (récurrence évidente) :
{D_{m,p}=D_{m,1}=\begin{vmatrix}\dbinom m0&\dbinom m1\\\\\dbinom{m+1}0&\dbinom{m+1}1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&m\cr1&m+1\end{vmatrix}}Conclusion : pour tous indices {m,p}, on a {D_{m,p}=1}.