Dérivabilité dun produit infini

Publié le 21/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Pour {x\ge0}, soit { G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}=\displaystyle\lim_{N\rightarrow+\infty}\displaystyle\prod_{n=1}^N\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}}.
Justifier la définition de {G}, et montrer que {G} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
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