Dérivabilité de la fonction Gamma

Publié le 17/04/17

(cet exercice – véritable question de cours – est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Déterminer le domaine de définition {D} de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.
Montrer que {\zeta} est {{\mathcal C}^\infty} sur {D}.
Déterminer les limites de {\zeta (x)} quand {x\rightarrow +\infty} et quand {x\rightarrow 1^+}.

  • La fonction {\zeta} est définie sur {]1,+\infty[}{x} fixé, c’est série de Riemann).
  • Les {f_{n}\colon x\mapsto \dfrac{1}{n^{x}}=\text{e}^{-x\ln(n)}} sont {\mathcal{C}^{\infty}} sur {]1,+\infty[} et : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;\forall\, k\in\mathbb{N},\;\forall\, x>1,\;f_{n}^{(k)}(x)=\dfrac{(-\ln n)^{k}}{n^{x}}}Fixons {a>1}. On a la majoration (uniforme en {x}) : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;\forall\, k\in\mathbb{N},\;\forall\, x\ge a,\;\left|{f_{n}^{(k)}(x)}\right|\le \dfrac{(\ln n)^{k}}{n^{a}}}Or on sait que la série {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(\ln n)^{k}}{n^{a}}} converge.

    En effet, avec {a=1+2\lambda} ({\lambda>0}): {\dfrac{(\ln n)^{k}}{n^{a}}=\dfrac{(\ln n)^{k}}{n^{\lambda}}\dfrac{1}{n^{1+\lambda}}=\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n^{1+\lambda}}\Bigr)}.

    Pour {k\ge0}, {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}^{(k)}} converge normalement (donc uniformément) sur {I_{a}=[a,+\infty[}.

    On peut donc appliquer sur {I_{a}} le théorème de dérivation des séries de fonctions {\mathcal{C}^{\infty}}.

    Il en résulte que {\zeta} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {I_{a}} et que : {\forall\, k\in\mathbb{N},\;\forall\, x\in I_{a}:\;\zeta^{(k)}(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}^{(k)}(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-\ln n)^{k}}{n^{x}}}Le résultat, vrai pour tout {a>1}, s’étend à {]1,+\infty[} (caractère \emph{local} de la dérivabilité).

  • Si on pose {f_{n}(x)=\dfrac{1}{n^{x}}}, on a {f_{1}(x)=1}, et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f_{n}(x)=0} pour tout {n\ge2}.

    Pour calculer {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\zeta(x)}, on va utiliser le théorème de la double limite sur {[2,+\infty[}.

    Ainsi (grâce à la convergence uniforme) : {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\zeta(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f_{n}(x)=1}Chaque fonction {x\mapsto \dfrac{1}{n^x}} est décroissante sur {]1,+\infty[}.

    Il en est donc de même de {x\mapsto \zeta(x)}.

    On suppose par l’absurde que {\zeta} est majorée par {M\ge0} sur {]1,+\infty[}.

    Alors en particulier: {\forall\, N\in\mathbb{N}^*,\;\forall\, x>1,\;\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{1}{n^x}\le \zeta(x)\le M}.

    Dans la somme finie, quand {x\rightarrow1}, on trouve : {\forall\, N\in\mathbb{N}^*,\;\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{1}{n}\le M}.

    Mais c’est absurde car la série harmonique diverge.

    Ainsi la fonction décroissante {x\mapsto \zeta(x)} n’est pas majorée sur {]1,+\infty[}.

    Il en résulte {\displaystyle\lim_{x\rightarrow1^+}\zeta(x)=+\infty}.

    Remarque: on montre classiquement que \zeta(x)\sim\dfrac{1}{x-1} quand x\rightarrow+\infty.