Le cousin de Vandermonde

Publié le 17/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
On pose {\Delta(x)=\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^3&a^4\\1&b&b^2&b^3&b^4\\1&c&c^2&c^3&c^4\\1&d&d^2&d^3&d^4\\1&x&x^2&x^3&x^4\end{vmatrix}}. C’est un déterminant de Vandermonde.

C’est en même temps une fonction polynomiale de degré {4} en la variable {x}.

Posons {\lambda=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)}.

Avec ces notations, on sait que {\Delta(x)=\lambda(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}.

Si on développe {\Delta(x)} suivant {\text{L}_5}, on voit que {D} est l’opposé du coefficient de {x^3}.

Ainsi {\Delta(x)=\lambda\bigl(x^4-(a+b+c+d)x^3+\cdots\bigr)}.

En identiant les termes de degré {3}, on trouve alors :
{\begin{array}{rl}D&=\lambda(a+b+c+d)\\\\&=(b\!-\!a)(c\!-\!a)(d\!-a\!)(c\!-b\!)(d\!-\!b)(d\!-\!c)(a\!+\!b\!+\!c\!+\!d)\end{array}}