Convergence d’une suite de fonctions

Publié le 20/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Ensam Psi 2010)
Soit {h\in{\mathcal C}^0([0,\pi/2],\mathbb{R})}.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, soit {f_n:x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}.
Étudier la convergence simple ou uniforme de {(f_n)_{n\geq 0}}.
  • Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on a {f_n(\pi/2)=h(\pi/2)}.

    Pour {0\le x\lt \pi/2}, on a {0\le \sin(x)\lt 1} donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n(x)=0}.

    Ainsi la suite {(f_n)_{n\ge0}} converge simplement sur {[0,\pi/2]} vers {f} définie par :{f(\pi/2)=h(\pi/2),\ \text{et}\ f(x)=0\ \text{sur}\ [0,\pi/2[}

  • La fonction {h} est continue donc bornée sur {[0,\pi/2]}.

    Soit {M=\sup\limits_{[0,\pi/2]}\left|{h(x)}\right|}. Soit {a\in[0,\pi/2[}.

    Pour tout {x} dans {[0,a]}, on a {\left|{f_n(x)}\right|\le M\sin(a)^n}.

    Mais M\sin(a)^n est le terme général d’une série convergente.

    Ainsi la suite {(f_n)_{n\ge0}} converge uniformément vers la fonction nulle sur {[0,a]}.

  • Supposons que {h} n’est pas nulle en {\pi/2}.

    Alors la discontinuité de {f} en ce point fait qu’il n’y a pas CVU sur {[0,\pi/2]}.

    On suppose au contraire {h(\pi/2)=0}, et on se donne {\varepsilon>0}.

    Soit {a\in[0,\pi/2[} tel que: {\forall\, x\in[a,\pi/2],\;\left|{h(x)}\right|\le\varepsilon}.

    Avec cette définition de {a}, soit {n_0\in\mathbb{N}} tel que {n\ge n_0\Rightarrow M\sin(a)^n\le\varepsilon}.

    On a alors : {\forall\, n\ge n_0,\;\forall\, x\in[0,\pi/2],\;\left|{f_n(x)}\right|\le\varepsilon}.

    Conclusion : si {h(\pi/2)=0}, {(f_n)_{n\ge0}} est CVU vers {0} sur {[0,\pi/2]}.