Condition de diagonalisabilité

Publié le 17/04/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Soient {\lambda_1,\cdots ,\lambda_k} dans \mathbb{C} et {A_1,\cdots ,A_k} dans {{\mathcal M}_p(\mathbb{C})}.
Soit {M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})} telle que : {\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}, {M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k\quad(\star)}
Montrer que {M} est diagonalisable.
Sans perdre de généralité, on élimine les {\lambda_i} éventuellement nuls.

De même on peut supposer qu’ils sont distincts deux à deux (sinon, on regroupe).

Par linéarité, (\star) donne {P(X)=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}P(\lambda_j) A_j} pour tout {P=XQ} avec \deg(Q)\le k.

C’est le cas en particulier pour {P=X(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_k)}.

On a ainsi {P(M)=0} avec un polynôme {P} scindé simple.

Il en résulte que {P} est diagonalisable.