Valeurs d’adhérence

Publié le 11/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Si {u} est une suite de nombres complexes, on note {V(u)} l’ensemble des valeurs d’adhérence de {u} (i.e. l’ensemble des limites des sous-suites convergentes de {u}).

  1. Montrer que {a\in V(u)} si et seulement si toute boule ouverte centrée en {a} contient une infinité d’éléments de {u}.
  2. Montrer que {V(u)} est un fermé.
    Dans tout ce qui suit, on suppose que {u} est une suite réelle.
  3. Montrer que l’on peut extraire de {u} une sous-suite monotone.
  4. On suppose que la suite réelle {u} est bornée. Montrer que {V(u)} est non vide, puis que {V(u)} est un singleton si et seulement si {u} converge.
  5. Soient {a, b} deux réels tels que {a \lt b}, et soit {f\colon [a,b] \rightarrow [a,b]} continue.
    Soit {(u_{n})} la suite définie par : {u_{0}\in [a, b]} et, pour {n\in\mathbb{N}}, {u_{n+1}=f(u_{n})}.
    Montrer que {(u_{n})} converge si et seulement si {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+1}-u_{n})=0}.

    • Soit {a\in V(u)}, et soit {(v_{n}=u_{\varphi(n)})_{n\ge0}} une suite extraite de {(u)} convergente vers {a} (la fonction {\varphi} étant strictement croissante).

      Soit {B(u,r)} la boule ouverte de centre {u} et de rayon {r>0}.

      Il existe {n_{0}\in\mathbb{N}} tel que : {\forall\, n\ge n_{0},\;v_{n}\in B(a,r)}.

      {B(a,r)} contient les {u_{\varphi(n)}} pour {n\ge n_{0}}, donc une infinité d’éléments de la suite {u}.

      Attention : par « infinité d’éléments », il faut entendre « infinité d’indices ».

    • Réciproquement, on suppose que toute boule ouverte {B(a,r)} (avec {r>0}) contient une infinité d’éléments de {(u)}.

      Il existe donc {n_{0}\in\mathbb{N}} tel que {u_{n_{0}}\in B(a,1)}, puis {n_{1}>n_{0}} tel que {u_{n_{1}}\in B\Bigl(a,\dfrac{1}{2}\Bigr)}.

      Plus généralement, supposons qu’on ait construit {n_{0}\lt n_{1}\lt \cdots\lt n_{k-1}} tels que : {\forall\, j\in[[ 0,k-1]],\;u_{n_{j}}\in B\Bigl(a,\dfrac{1}{j+1}\Bigr)}Or {B\Bigl(a,\dfrac{1}{k+1}\Bigr)} contient une infinité d’éléments de {(u)}.

      On en déduit : {\exists\, n_{k}>n_{k-1},\;u_{n_{k}}\in B\Bigl(a,\dfrac{1}{k+1}\Bigr)}.

      On construit ainsi une suite extraite {k\mapsto u_{n_{k}}} telle que : {\forall\, k\in\mathbb{N},\;u_{n_{k}}\in B\Bigl(a,\dfrac{1}{k+1}\Bigr)}Si on pose \varphi(k)=n_k, on a donc : {\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}u_{\varphi(k)}=a}.

  1. Il revient au même de démontrer que le complémentaire {^{\text{c}}V(u)} est un ouvert.

    Pour cela, on se donne {a} dans {^{\text{c}}V(u)}.

    Il existe une boule ouverte {B(a,r)} ({r>0}) ne contenant qu’un nombre fini d’éléments de {u}.

    Pour tout {b\in B(a,r)}, soit {\rho=r-\left|{b-a}\right|>0}.

    Alors {B(b,\rho)\subset B(a,r)} donc {B(b,\rho)} ne contient qu’un nombre fini d’éléments de {u}.

    Ainsi {b} est dans {^{\text{c}}V(u)}, donc {B(a,r)\subset ^{\text{c}}V(u)}, et {^{\text{c}}V(u)} est ouvert.

  2. Soit {X=\{n\in\mathbb{N},\;\forall\, m> n,\; u_{m}\ge u_{n}\}}.

    On distingue selon que {X} est fini (éventuellement vide) ou infini.

    • Si {X} est infini, on note {n_{0}\lt n_{1}\lt n_{2}\lt \cdots} ses éléments.

      Pour tout {k\in\mathbb{N}}, on a {n_{k+1}>n_{k}} et {n_{k}\in X} donc {u_{n_{k+1}}\ge u_{n_{k}}}.

      On a ainsi formé une suite {k\mapsto u_{n_{k}}}, extraite de la suite {(u)}, et croissante.

    • Si {X} est fini, il existe {N\in\mathbb{N}} tel que : {\forall\, n\ge N,\;u_{n}\notin X}.

      En d’autres termes : {\forall\, n\ge N,\;\exists\, m>n,\;u_{m}\lt u_{n}}.

      On pose {n_{0}=N}, puis on choisit {n_{1}>n_{0}} tel que {u_{n_{1}}\lt u_{n_{0}}}.

      On choisit ensuite {n_{2}>n_{0}} tel que {u_{n_{2}}\lt u_{n_{1}}}.

      Par une récurrence évidente, on construit une suite {k\mapsto u_{n_{k}}}, extraite de la suite {(u)}, et (strictement) décroissante.

  3. De la suite réelle bornée {(u)}, on peut extraire une suite monotone donc convergente.

    Ainsi {V(u)\ne\emptyset}.

    Si {(u)} converge vers {\ell}, ses suites extraites aussi, donc {V(u)=\{\ell\}}.

    Réciproquement, on suppose {V(u)=\{\ell\}} et par l’absurde que {(u)} ne converge pas vers {\ell}.

    Alors il existe {\varepsilon>0} tel que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\exists\, m>n,\;\left|{u_{m}-\ell}\right|\ge \varepsilon}.

    On peut donc former {v\colon k\mapsto u_{n_{k}}} extraite de {(u)} telle que : {\forall\, k\in\mathbb{N},\;\left|{u_{n_{k}}-\ell}\right|\ge \varepsilon}.

    De la suite {(v)}, on peut extraire {(w)} convergente vers {\ell'}, avec {\left|{\ell'-\ell}\right|>\varepsilon} donc {\ell'\ne\ell}.

    Mais la suite {(w)} est extraite de {(u)}, donc {\ell'\in V(u)}, ce qui est contradictoire.

  4. Bien sûr, si la suite bornée {(u)} converge, on a {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+1}-u_{n})=0}.

    On suppose donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+1}-u_{n})=0}. On doit montrer que {(u)} converge.

    D’après ce qui précède, il suffit de montrer que {V(u)} ( non vide) est réduit à un singleton.

    On va montrer deux résultats préalables.

    • On montre d’abord que toute valeur d’adhérence de {(u)} est un point fixe de {f}.

      Soit {\ell\in V(u)} et {n\mapsto v_{n}=u_{\varphi(n)}} une suite extraite de {(u)}, convergente vers {\ell}.

      La fonction {f} étant continue, la suite {n\mapsto w_{n}=u_{\varphi(n)+1}=f(u_{\varphi(n)})} converge vers {f(\ell)}.

      Or on sait que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(w_{n}-v_{n})=0}, donc {f(\ell)=\ell}.

      Ainsi, pour tout {\ell\in V(u)}, on a {f(\ell)=\ell}.

    • On montre ensuite que l’ensemble des valeurs d’adérence {V(u)} est un intervalle.

      Soit {\ell\lt \ell'} dans {V(u)} et soit {\ell''\in\,]\ell,\ell'[}.

      Par l’absurde, on suppose {\ell''\notin V(u)}.

      Alors il existe {\varepsilon>0} et {n_{0}\in\mathbb{N}} tels que : {\forall\, n\ge n_{0},\;u_{n}\notin[\ell''-\varepsilon,\ell''+\varepsilon]}.

      Comme {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+1}-u_{n})=0}, il existe {n_{1}\ge n_{0}} tel que {n\ge n_{1}\Rightarrow \left|{u_{n+1}-u_{n}}\right|\le 2\varepsilon}.

      Il n’y a alors que deux possibilités :

      — ou bien {\forall\, n\ge n_{1},\;u_{n}\lt \ell''-\varepsilon\lt \ell'-\varepsilon}

      — ou bien {\forall\, n\ge n_{1},\;u_{n}>\ell''+\varepsilon>\ell+\varepsilon}

      Mais c’est contradictoire car dans le premier (resp. deuxième) cas {\ell'} (resp {\ell}) ne serait plus valeur d’adhérence.

    On est maintenant en mesure de démontrer que {(u)} est convergente.

    Par l’absurde, on suppose que {(u)} possède deux valeurs d’adhérence {\ell} et {\ell'}, avec {\ell\lt \ell'}.

    On sait que {[\ell,\ell']\subset V(u)} et que, pour tout {x} de {[\ell,\ell']} on a {f(x)=x}.

    Ainsi : {\forall\, n\in\mathbb{N}, u_{n}\notin[\ell,\ell']} (sans quoi {(u)} serait stationnaire donc convergente).

    On sait qu’il existe {n_{0}\in\mathbb{N}} tel que {\forall\, n\ge n_{0},\;\left|{u_{n+1}-u_{n}}\right|\lt \ell'-\ell}.

    Cela signifie qu’à partir de {n_{0}}, la suite {(u)} ne peut plus « enjamber » le segment {[\ell,\ell']}.

    Il en résulte deux possibilités :

    — ou bien {\forall\, n\ge n_{0},\;u_{n}\lt \ell\lt \ell'}, et alors {\ell'} ne serait plus dans {V(u)}

    — ou bien {\forall\, n\ge n_{0},\;u_{n}>\ell'>\ell}, et alors {\ell} ne serait plus dans {V(u)}

    Dans les deux cas, c’est contradictoire!

    On a donc l’équivalence : {(u_{n})} converge si et seulement si {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+1}-u_{n})=0}.