Une série numérique

Publié le 23/03/17

(cet exercice est tiré de l’oral Centrale Psi 2015)
Quelle est la nature de la série de terme général {u_{n}=\sin\big(\pi(1+\sqrt2)^{n}\big)} ?
On remplace {\alpha=1+\sqrt2} par {\beta=1-\sqrt2} (car {\left|{\beta}\right|\lt 1}) avec la périodicité du sinus.

On a {\alpha^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\sqrt2^{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\!\!\dbinom{n}{2k}2^{k}+\sqrt2\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\!\!\dbinom{n}{2k+1}2^{k}}.

De même {\beta^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\dbinom{n}{2k}2^{k}-\sqrt2\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\!\!\dbinom{n}{2k+1}2^{k}}.

Il en découle que {\alpha^{n}+\beta^{n}=2\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\dbinom{n}{2k}2^{k}} est un entier pair.

Ainsi {u_{n}=\sin(\pi\alpha^{n})=-\sin(\pi\beta^{n})}, donc {\left|{u_{n}}\right|\le\pi\left|{\beta}\right|^{n}}, avec {\left|{\beta}\right|\lt 1}.

Il en résulte que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}} est absolument convergente.