Une approximation quadratique

Publié le 10/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Pour {n\in\mathbb{N}} et {x\in\,]-1,1[}, on pose {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.

  1. Montrer que : {U_{n}(x) = 2xU_{n-1}(x) -U_{n-2}(x)}.
    Montrer que {U_{n}} est une fonction polynomiale de degré {n}.
  2. Dans {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})}, on pose {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}.
    On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} de ce produit scalaire, et de la norme associée {\left\|\cdot\right\|}.
    Montrer que : {\forall\, (n,m)\in\mathbb{N},\;\text{avec}\;m\ne n, \left(U_{n}\mid U_{m}\right)= 0}.
  3. On définit la fonction {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}}.
    Donner sa meilleure approximation (pour {\left\|\cdot\right\|}) par un polynôme de degré {\le 2}.

  1. On va utiliser l’identité {\sin(a)+\sin(b)=2\sin\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)\cos\Bigl(\dfrac{a-b}{2}\Bigr)}.
    \begin{array}{rl}U_{n}(x)+U_{n-2}(x)&=\dfrac{\sin(n\arccos(x))\cos(\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}\\&=x\,U_{n-1}(x)\end{array}On a tout d’abord : {U_{0}(x)=1}.

    Ensuite : {U_{1}(x)=\dfrac{\sin(2\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}=2\cos(\arccos(x))=2x}.

    Par récurrence évidente, la relation {U_{n}(x) = 2xU_{n-1}(x) -U_{n-2}(x)} dit que chaque {U_{n}} est une fonction polynomiale de degré {n}.

  2. On pose {x=\cos(\,\theta)}, avec {-\pi\le\,\theta\le\pi}.

    Ainsi {\begin{cases}\text{d}x=-\sin(\,\theta)\,\text{d}\theta\\\sqrt{1-x^{2}}=\sin(\,\theta)\end{cases}\;} et {U_{n}(\cos\,\theta)=\dfrac{\sin((n+1)\,\theta)}{\sin(\,\theta)}}.

    Pour {m\ne n}, on trouve : {\begin{array}{rl}\left({U_{n}}\mid{U_{m}}\right)&=\displaystyle\int_{-1}^{1}U_{n}(\cos \,\theta)U_{m}(\cos\,\theta)\sin(\theta)\,{\text{d}}x\\\\&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin((n+1)\,\theta)\sin((m+1)\,\theta)\,\text{d}\theta\end{array}}On linéarise {\sin((n+1)\,\theta)\sin((m+1)\,\theta)} en une somme de cosinus et on voit que cette intégrale est nulle. Les fonctions {x\mapsto U_{n}(x)} forment donc une famille orthogonale de {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} pour son produit scalaire.

  3. La meilleure approximation (pour la norme euclidienne {\left\|\cdot\right\|}) de {f} par un polynôme de degré {\le 2} est la projection orthogonale de {f} sur le sous-espace engendré par {1,x\mapsto x,1\mapsto x^{2}}, c’est-à-dire engendré par {U_{0},U_{1},U_{2}}. Cette projection orthogonale s’écrit : {P=\dfrac{\left({f}\mid{U_{0}}\right)}{\left\|{U_{0}}\right\|^{2}}U_{0}+\dfrac{\left({f}\mid{U_{1}}\right)}{\left\|{U_{1}}\right\|^{2}}U_{1}+\dfrac{\left({f}\mid{U_{2}}\right)}{\left\|{U_{2}}\right\|^{2}}U_{2}}Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a : {\begin{array}{rl}\left\|{U_{n}}\right\|^{2}&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2}((n+1)\,\theta)\,\text{d}\theta\\\\&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\bigl(1+\cos\bigl(2(n+1)\,\theta\bigr)\bigr)\,\text{d}\theta=\dfrac{\pi}{2}\end{array}}Enfin, pour tout n\in\mathbb{N}, on trouve : {\begin{array}{rl}\left({f}\mid{U_{n}}\right)&=\displaystyle\int_{-1}^{1}U_{n}(x)(1-x^{2})\,\text{d}x\\\\&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin((n+1)\,\theta)\sin^{2}\,\theta\,\text{d}\theta\\\\&=[\cdots]=-2\dfrac{1+(-1)^{n}}{(n^{2}-1)(n+3)}\end{array}}En particulier : {\left({f}\mid{U_{0}}\right)=\dfrac{4}{3}}, {\left({f}\mid{U_{1}}\right)=0} et {\left({f}\mid{U_{2}}\right)=-\dfrac{4}{15}}.

    On en déduit : {P=\dfrac{2}{\pi}\biggl(\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{15}(4x^{2}-1)\biggr)=\dfrac{16}{15\pi}(3-2x^{2})}.