Sommes de projecteurs

Publié le 12/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2010)

Soient {A_1,\ldots ,A_k} dans {\mathcal M_n(\mathbb{R})} et {A=A_1+\cdots +A_k}.
On considère les propriétés suivantes :
{a)\;\forall (i,j)\in\{1,\ldots ,k\}^2}, {{A_i}^2=A_i}, et {i\neq j\Rightarrow A_iAj=0} ;
{b)\;A^2=A} et {\text{rg}(A)=\text{rg}(A_1)+\cdots +\text{rg} (A_k)} ;
{c)\;\text{rg} (A_1)+\cdots +\text{rg} (A_k) =n-\text{rg}(I_n-A)}.

  1. Montrer que : {a)\Rightarrow b)\Rightarrow c)}.
  2. On définit les matrices par blocs suivantes :

    {\!\!D=\begin{pmatrix} A_1&0&\cdots&0\\ 0&A_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&A_k\end{pmatrix}}, {P=\begin{pmatrix}A_1 \\\vdots \\A_k\end{pmatrix}}, {Q=\begin{pmatrix}A_1 & \cdots & A_k\end{pmatrix} },

    {\!\!R=\!\begin{pmatrix}-I_n & 0 & 0 \\0 & D & 0 \\0 & 0 & I_n\!-\!A\end{pmatrix}}, {S=\!\begin{pmatrix}-I_n & 0 & I_n \\0 & D & P \\I_n & Q & 0\end{pmatrix}}, {T=\!\begin{pmatrix}0 & 0 & I_n \\0 &\!\! D\!-\!PQ \!\!& P \\I_n & 0 & 0\end{pmatrix}}

    Prouver que {\text{rg}(R)=\text{rg}(S)=\text{rg}(T)}.

  3. En déduire l’implication {c)\Rightarrow a)} et conclure.

    • On suppose a). Alors {A^2=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n}A_iA_j=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}A_i^2+\displaystyle\sum_{i\ne j}A_iA_j=\displaystyle\sum_{i}^{n}A_i=A}.

      Les matrices {A} et {A_i} sont des matrices de projecteurs.

      On a donc {\text{rg}(A)=\text{tr}(A)} et {\text{rg}(A_i)=\text{tr}(A_i)} pour tout {i}.

      Par linéarité de la trace, il en résulte : {\text{rg}(A)=\text{tr}(A)=\text{tr}\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^n A_i\Bigr)=\displaystyle\sum_{i=1}^n \text{tr}(A_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^n \text{rg}(A_i)}Ainsi {a) \Rightarrow b)}.

    • Supposons b). Alors {\text{rg}(A)= n-\dim(\text{Ker}(A))} (théorème du rang).

      De même {\text{Ker}(A)=\text{Im}(I_n-A)} (projections associées). Ainsi {b)\Rightarrow c)}.

  1. On sait que les opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ne changent pas le rang de la matrice à laquelle on les applique. On peut grouper ces opérations élémentaires par blocs (en conformité avec l’écriture en {(k+2)\times (k+2)} blocs de taille {n} des matrices {R,S,T}).

    Dans ce qui suit, {\text{L}_i} et {\text{C}_i} désignent la {i}-ème ligne (ou colonne) en termes de blocs de hauteur (ou de largeur) {n}.

    • On va de {R=\begin{pmatrix}-I_n & 0 & 0 \\0 & D & 0 \\0 & 0 & I_n-A\end{pmatrix}} à {R'=\begin{pmatrix}-I_n & 0 & 0 \\0 & D & 0 \\I_n & Q & I_n-A\end{pmatrix}}
      par les opérations {\text{L}_{k+1}\leftarrow\text{L}_{k+1}-\text{L}_1+\displaystyle\sum_{i=2}^{k}\text{L}_{i}}.
    • On va de {R'=\begin{pmatrix}-I_n & 0 & 0 \\0 & D & 0 \\I_n & Q & I_n-A\end{pmatrix}} à {S=\begin{pmatrix}-I_n & 0 & I_n \\0 & D & P \\I_n & Q &0\end{pmatrix}}
      par les opérations {\text{C}_{k+1}\leftarrow\text{C}_{k+1}-\text{C}_1+\displaystyle\sum_{i=2}^{k}\text{C}_{i}}.
    • On va de {S=\begin{pmatrix}-I_n & 0 & I_n \\0 & D & P \\I_n & Q & 0\end{pmatrix}} à {S'=\begin{pmatrix}-I_n & -Q & I_n \\0 & D-PQ & P \\I_n & Q &0\end{pmatrix}}

      par les opérations {\text{C}_{j}\leftarrow\text{C}_{j}-\text{C}_{k+1}A_j} pour {2\le j\le k}.

    • On va de {S'=\begin{pmatrix}-I_n & -Q & I_n \\0 & D-PQ & P \\I_n & Q & 0\end{pmatrix}} à {T=\begin{pmatrix}0 & 0 & I_n \\0 & D-PQ & P \\I_n & 0 &0\end{pmatrix}}

      par les opérations {\text{L}_{1}\leftarrow\text{L}_{1}+\text{L}_{k+1}}.

    Finalement, on a {\text{rg}(R)=\text{rg}(R')=\text{rg}(S)=\text{rg}(S')=\text{rg}(T)}.

  2. On a {\text{rg}(D)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\text{rg}(A_i)}, et {\text{rg}(T)=2n+\text{rg}(D-PQ)}.

    D’autre part, d’après l’hypothèse c), on a : {\text{rg}(R)=n+\text{rg}(D)+\text{rg}(I_n-A)=2n+\text{rg}(D)-\displaystyle\sum_{i=1}^n\text{rg}(A_i)}Il en résulte {\text{rg}(R)=2n}.

    L’égalité {\text{rg}(R)=\text{rg}(T)} implique donc {\text{rg}(D-PQ)=0}, donc {D=PQ}.

    Cette égalité, au niveau du bloc d’indice {(i,j)}, s’écrit : {\delta_{i,j}A_{i}=A_{i}A_{j}}.

    On en déduit {A_i=A_i^2}, et (si {i\ne j}) {A_iA_j=0}.

    On a donc prouvé c) {\Rightarrow} a).

    En conclusion, les propositions a), b) et c) sont équivalentes.