Somme d’une série de fonctions

Publié le 18/03/17

Soit {f\colon x\mapsto\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)}, avec {f_n(x)=\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.

  1. Déterminer le domaine de définition de {f}.
    Montrer que {f} est de classe {{\mathcal C}^{1}} et qu’elle est croissante.
  2. Déterminer {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}, puis un équivalent de {f} en {+\infty}.

  1. Pour {x\notin\mathbb{Z}^{-*}} fixé, la série {\displaystyle\sum f_{n}(x)} est alternée en signe.

    D’autre part {\left|{f_{n}(x)}\right|=\dfrac{1}{n+x}\rightarrow0} en décroissant quand {n\rightarrow+\infty}.

    On peut donc appliquer le TSSA (théorème spécial des séries alternées).

    Ainsi {\displaystyle\sum f_n} converge simplement sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}^{-*}}.

    D’autre part, pour tout x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}^{-*}, on a {f'_{n}(x)=\dfrac{(-1)^{n+1}}{(x+n)^2}}.

    Ainsi {\displaystyle\sum f'_n} converge normalement (donc uniformément) sur tout segment de {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}^{-*}}.

    On peut alors appliquer le théorème de dérivation des séries de fonctions.

    Ainsi {f} est {\mathcal{C}^{1}} sur tout segment de {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}^{-*}}.

    Elle est donc {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}^{-*}} (caractère local de la dérivabilité).

    D’après le TSSA, {f'(x)} a le signe de {f'_1(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}>0}, donc {f} est croissante.

  2. Le TSSA dit aussi que: {\forall\, x\ge0,\;\left|{R_{n}(x)}\right|\le\left|{f_{n+1}(x)}\right|\le \dfrac{1}{n+1}}.

    Ainsi : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\Bigl(\displaystyle\sup_{x\ge0} R_{n}(x)\Bigr)=0}, donc {\displaystyle\sum f_n} converge donc uniformément sur {\mathbb{R}^{+}}.

    On peut alors appliquer le théorème de la double limite.

    En conséquence : {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f_n(x)=0}.

    Pour tout {x\ge0}, on a : {f(x+1)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n+1}=-\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}=-f(x)-\dfrac{1}{x+1}}Pour {x\ge1}, on a : {f(x-1)\le f(x)\le f(x+1)}.

    Il en résulte : {\dfrac{f(x-1)+f(x)}{2}\le f(x)\le \dfrac{f(x)+f(x+1)}{2}}.

    Ainsi : {-\dfrac{1}{2x}\le f(x)\le-\dfrac{1}{2(x+1)}}.

    On en déduit finalement : {f(x)\stackrel{+\infty}{\sim}-\dfrac{1}{2x}}.