Une somme de série entière

Publié le 17/03/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2015)
  1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}}.
  2. Exprimer la somme {f} à l’aide des fonctions usuelles.

  1. Posons {u_{n}=\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}} pour {x\ne0}.

    Alors {\left|{\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\dfrac{\left|{x}^{3}\right|}{(3n\!+\!3)(3n\!+\!2)(3n\!+\!1)}\longrightarrow0} quand n\to+\infty. Donc {R=+\infty}.

  2. On décompose la série entière donnant {\exp(x)} en trois sommes distinctes :
    {\begin{array}{rl}\exp(x)&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{3n+1}}{(3n+1)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{3n+2}}{(3n+2)!}\\\\&=S_{0}(x)+S_{1}(x)+S_{2}(x)\end{array}}Le nombre complexe {j} vérifie {j^{3n}=1}, {j^{3n+1}=j} et {j^{3n+2}=j^{2}} pour tout {n}.

    On en déduit : {\begin{array}{rl}\exp(jx)&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}j^{n}\dfrac{x^{n}}{n!}\\\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}j^{3n}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}j^{3n+1}\dfrac{x^{3n+1}}{(3n+1)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}j^{3n+2}\dfrac{x^{3n+2}}{(3n+2)!}\\\\&=S_{0}(x)+jS_{1}(x)+j^{2}S_{2}(x)\end{array}}{\begin{array}{rl}\exp(j^{2}x)&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}j^{2n}\dfrac{x^{n}}{n!}\\\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}j^{6n}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}j^{6n+2}\dfrac{x^{3n+1}}{(3n+1)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}j^{6n+4}\dfrac{x^{3n+2}}{(3n+2)!}\\\\&=S_{0}(x)+j^{2}S_{1}(x)+jS_{2}(x)\end{array}}Par sommation, et utilisant {1+j+j^{2}=0}, on obtient :
    {S_{0}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}=\dfrac{\exp(x)+\exp(jx)+\exp(j^{2}x)}{3}}D’autre part, pour tout réel x, on a :{\begin{array}{rl}\exp(jx)+\exp(j^{2}x)&=2\text{Re}\bigl(\exp(jx)\bigr)\\\\&=2\exp\Bigl(-\dfrac{x}{2}\Bigr)\cos\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr)\end{array}}Finalement, on trouve l’expression suivante, pour tout {x} réel : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}=\dfrac{\text{e}^{x}}{3}+\dfrac{2}{3}\text{e}^{-x/2}\cos\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr)}