Une série de produits

Publié le 05/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015 & 2010)
Soit {\varphi:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction continue.
On suppose qu’il existe {(a_{m})_{m\ge0}} telle que, quand {x\to+\infty}:
{\forall m\in\mathbb{N},\;\varphi(x)=a_{0} + \dfrac{a_{1}}{x} + \ldots + \dfrac{a_{m}}{x^{m}}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{x^{m}}\Bigr)}

  1. À quelles conditions sur (a_m)_{m\ge0} la série {\displaystyle\sum\varphi(n)} est-elle convergente ?
  2. Quand la suite {n\mapsto p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)} est-elle convergente ?
  3. Quand la série de terme général {p_{n}} est-elle convergente ?
  4. Pour quels {\alpha} la série de terme général {\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\bigl(2-\text{e}^{\alpha/k}\bigr)} est-elle convergente ?

  1. Par comparaison avec les séries de Riemann, {\displaystyle\sum\varphi(n)} converge \Leftrightarrow{a_{0}=a_{1}=0}.
  2. On suppose que les {(\varphi(k))_{k\ge1}} sont tous non nuls, sans quoi la suite {(p_{n})} est stationnaire en {0}.

    • Si {\left|{a_{0}}\right|\lt 1} (et en particulier si {a_{0}=0}) alors :

      {\exists\, n_{0}\in\mathbb{N}^{*},\;\forall\, n\ge n_{0},\;\left|{\varphi(n)}\right|\le\alpha\lt 1} (avec {\left|{a_{0}}\right|\lt \alpha\lt 1}).

      On a alors : {\forall n\ge n_{0},\;\left|p_{n}\right|\le \left|p_{n_{0}}\right|\alpha^{n-n_{0}}}.

      Ainsi {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}p_{n}=0}, donc la suite {(p_{n})} converge.

    • Si {\left|{a_{0}}\right|>1} alors : {\exists\, n_{0}\in\mathbb{N}^{*},\;\forall\, n\ge n_{0},\;\left|{\varphi(n)}\right|\ge\alpha>1} (où {\left|{a_{0}}\right|>\alpha>1}).

      On a alors : {\forall\, n\ge n_{0},\;\left|{p_{n}}\right|\ge \left|{p_{n_{0}}}\right|\alpha^{n-n_{0}}}.

      Ainsi {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left|{p_{n}}\right|=+\infty}, donc {(p_{n})_{n\ge1}} diverge.

    • Supposons {a_{0}=1}, donc {\varphi(x)=1+\dfrac{a_{1}}{x} +\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{x^{2}}\Bigr)}.

      Alors : {\exists\, n_{0}\in\mathbb{N}^{*},\;\forall\, n\ge n_{0},\;\varphi(n)>0}.

      La suite {(p_{n})_{n\ge1}} est donc de signe constant au bout d’un certain temps.

      On ne change par sa nature en supposant que tous les termes sont \gt0.

      La convergence de {(p_{n})} équivaut à l’existence de {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\ln(p_{n})} dans {\mathbb{R}\cup{\{-\infty\}}}.

      Cela équivaut donc à la convergence de {\displaystyle\sum_{k\ge1}\ln(\varphi(k))}, ou à sa divergence vers {-\infty}.

      Or {\varphi(k) = 1 + \dfrac{a_{1}}{k} +\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{k^{2}}\Bigr)}, donc {\ln(\varphi(k))=\dfrac{a_{1}}{k}+\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{k^{2}}\Bigr)}.

      Ainsi, la série {\displaystyle\sum\ln(\varphi(n)):\begin{cases}\text{converge\ }\Leftrightarrow a_{1}=0\\ \text{diverge vers\ }-\infty\Leftrightarrow a_{1}\lt 0\end{cases}}

      En résumé, si {a_{0}=1} : {(p_{n})_{n\ge1}} converge si et seulement si {a_{1}\le 0}.

    • Si {a_{0}=-1}, on va se ramener à ce qui précède.

      Pour cela, on pose {\psi(x)=-\varphi(x)} et {q_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\psi(k)=(-1)^{n}p_{n}}.

      Il faut éliminer {a_{1}=0} pour lequel {(q_{n})} CV dans {\mathbb{R}^{+*}} donc {p_{n}=(-1)^{n}q_{n}} DV.

      La seule possibilité est {(-a_{1})\lt 0}.

      On a alors {\sum\ln(\psi(n))=-\infty} donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}q_{n}=0} donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}p_{n}=0}.

    On peut donc conclure cette discussion :
    La suite {(p_{n})} converge si et seulement si : {(1):\left|{a_{0}}\right|\lt 1\text{\ ou \ (2):}\begin{cases}a_{0}=1\\ a_{1}=0\end{cases}\text{\ ou \ (3):}\begin{cases}a_{0}=1\\ a_{1}\lt 0\end{cases}\text{\ ou \ (4):}\begin{cases}a_{0}=-1\\ a_{1}>0\end{cases}}Dans les cas (1), (3) et (4), la suite {(p_{n})} tend vers {0}.

    Dans le cas (2) elle a une limite non nulle.

  3. Si {\displaystyle\sum p(n)} converge alors {p(n)} tend vers {0}.

    On est alors l’un des trois cas (1), (3) et (4) ci-dessus.

    • Si {\left|{a_{0}}\right|\lt 1}, on a vu que {p_{n}=\text{O}(\alpha^{n})}, avec {0\lt \alpha\lt 1}.

      Dans ce cas, {displaystyle\sum p_{n}} converge.

    • Si {a_{0}=1} et {a_{1}\lt 0}; quand n\to+\infty, on a :

      {\ln(\varphi(k))=\dfrac{a_{1}}{k}+\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{k^{2}}\Bigr)} donc {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln(\varphi(k))=a_{1}\ln(n)+\text{O}(1)}.

      En prenant le log, l’ordre de grandeur de {p(n)} est donc {n^{a_{1}}} quand {n\rightarrow+\infty}.

      Ainsi la série {\sum p(n)} converge si {a_{1}\lt -1} et elle diverge sinon.

    • Si {a_{0}=-1} et {a_{1}>0}, on va se ramener à ce qui précède.

      Pour cela, soit {\psi(x)=-\varphi(x)} et {q_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\psi(k)=(-1)^{n}p_{n}}.

      Puisque {p_{n}=(-1)^{n}q_{n}} (et {q_{n}>0} à partir d’un certain rang), {\displaystyle\sum p_{n}} est alternée en signe.

      Or {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}p_{n}=0}, et pour {n} assez grand {\left|{\varphi(n)}\right|\lt 1} donc {\left|p_{n}\right|=\left|\varphi(n)\right|\left|p_{n_{1}}\right|\le\left|p_{n-1}\right|}.

      Ainsi, grâce au théorème spécial des séries alternées, la série {\displaystyle\sum p_{n}} est convergente.

    On peut donc conclure cette discussion :

    La série {\displaystyle\sum p_{n}} converge si et seulement si : {\text{(1'):}\left|a_{0}\right|\lt 1\text{\ ou \ (2'):}\begin{cases}a_{0}=1\\ a_{1}\lt -1\end{cases}\text{\ ou (3'):}\begin{cases}a_{0}=-1\\ a_{1}>0\end{cases}}

  4. On traite ici le cas particulier \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x} : {\begin{array}{rl}\varphi(x)&=2-\text{e}^{-\alpha/x}=2-\biggl(1-\dfrac{\alpha}{x}+\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{x^{2}}\Bigr)\biggr)\\\\&=1+\dfrac{\alpha}{x}+\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{x^{2}}\Bigr)\end{array}} donc {a_{0}=1} et {a_{1}=\alpha}.

    D’après ce qui précède, {\displaystyle\sum p_{n}} converge si et seulement si {\alpha\lt -1}.