Une série de produits

Publié le 05/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015 & 2010)
Soit {\varphi:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction continue.
On suppose qu’il existe {(a_{m})_{m\ge0}} telle que, quand {x\to+\infty}:
{\forall m\in\mathbb{N},\;\varphi(x)=a_{0} + \dfrac{a_{1}}{x} + \ldots + \dfrac{a_{m}}{x^{m}}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{x^{m}}\Bigr)}

  1. À quelles conditions sur (a_m)_{m\ge0} la série {\displaystyle\sum\varphi(n)} est-elle convergente ?
  2. Quand la suite {n\mapsto p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)} est-elle convergente ?
  3. Quand la série de terme général {p_{n}} est-elle convergente ?
  4. Pour quels {\alpha} la série de terme général {\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\bigl(2-\text{e}^{\alpha/k}\bigr)} est-elle convergente ?

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