Écriture binaire d’un nombre réel

Publié le 03/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}.
Pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}}, soit {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.

  1. Vérifier qu’on a {S_{n}\le x \lt S_{n} +\dfrac{1}{2^{n}}} pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}}.
  2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
    \cdot\ x=j\,2^{-m} avec j entier, {0\le j\lt 2^{m}}
    {\cdot\ x_{k}=0} pour tout {k > m}.

  3. Soit {f\colon\{0,1\}^{\mathbb{N}^{*}}\rightarrow[0,1],\;(x_{k})_{k\ge1}\mapsto \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
    Montrer que f est bien définie, surjective mais pas injective.

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