Répartition de a*n boules dans n urnes

Publié le 30/03/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Soient {a\in\mathbb{N}^{*}}, et soit {n\ge2}.
On répartit au hasard, de façon équiprobable, {an} boules dans {n} urnes.
Pour {i \in[[1,n]]}, soit {T_{i}} la variable indicatrice de « l’urne numéro {i} est vide ».
Soit {Y_{n}} le nombre d’urnes vides après la répartition, et {S_{n} =\dfrac{Y_{n}}{n}}.

  1. Donner la loi, l’espérance et la variance de {T_{i}}.
  2. Déterminer {\text{E}(S_n)} et {\text{V}(S_{n})} ainsi que leur limite quand {n} tend vers {+\infty}.

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