Réduction simultanée

Publié le 24/03/17

Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soient {f,g} dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}} et {fg+gf = 0}.

  1. Montrer que la dimension de {E} est paire. On pose {\dim(E)=2n}.
  2. Montrer qu’il existe une base de {E} dans laquelle les matrices de {f} et {g} s’écrivent respectivement {\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\0_{n}&-I_{n}\end{pmatrix}} et {\begin{pmatrix}0_{n}&I_{n}\\ I_{n}&0_{n}\end{pmatrix}}.

  1. On remarque que {f} et {g} sont des automorphismes (ce sont des symétries vectorielles).

    On a {fg=-gf} donc {\det(fg)=(-1)^{n}\det(gf)}, avec {\det(fg)=\det(gf)\ne0}.

    Ainsi {(-1)^{n}=1}, donc {n} est pair.

  2. On sait que {E=F\oplus G}, avec {\begin{cases}F=\text{Inv}(f)=\text{Ker}(f-\text{Id})\\G=\text{Opp}(f)=\text{Ker}(f+\text{Id})\end{cases}}

    Pour tout {(x,y)\in F\times G}, on a {\begin{cases}f(x)=x\\f(y)=-y\end{cases}}.

    Ainsi {\begin{cases}(fg)(x)=-(gf)(x)=-g(x)\\(fg)(y)=-(gf)(y)=g(y)\end{cases}} donc {\begin{cases}g(x)\in G\\g(y)\in F\end{cases}}, donc {\begin{cases}g(G)\subset F\\g(F)\subset G\end{cases}}.

    Ainsi {\begin{cases}\dim(G)\le\dim(F)\\\dim(F)\le\dim(G)\end{cases}} ({g} converse la dimension).

    Il en résulte {\dim(F)=\dim(G)=n} et {\begin{cases}g(G)= F\\g(F)= G\end{cases}}

    Soit {(e_{1},\ldots,e_{n})} une base de {F}. On pose : {\forall\, i\in[[ 1,n]],\;e_{n+i}=g(e_{i})}.

    D’après ce qui précède {\begin{cases}(e_{i})_{n+1\le i\le n}\text{\ est une base de\ }G\\\mathcal{B}=(e_{i})_{1\le i\le 2n}\text{\ est une base de\ }E\end{cases}}

    Par construction, on a: {\forall\, i\in[[ 1,n]],\;g(e_{n+i})=g^{2}(e_{i})=e_{i}}.

    Les matrices de {f} et {g} dans {\mathcal{B}} sont donc respectivement {\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\0_{n}&-I_{n}\end{pmatrix}} et {\begin{pmatrix}0_{n}&I_{n}\\ I_{n}&0_{n}\end{pmatrix}}.