Réduction d’endomorphisme matriciel

Publié le 21/03/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2015)
Soit A dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {A\ne 0}.
Soit {\varphi\,\colon{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\rightarrow{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} défini par {\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}.
Cet endomorphisme est-il diagonalisable? Quel est sa trace? son déterminant?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé