Probabilités et urne bicolore

Publié le 29/03/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Soit {a\in\mathbb{N}^{*}}. Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages avec remise d’une boule de l’urne. Soit {X} la variable aléatoire comptant le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires lors de deux tirages consécutifs.

  1. Montrer que la suite {(\mathbb{P}(X\ge n))} satisfait une relation de récurrence d’ordre {2}.
  2. En déduire la loi de {X}.
    • Montrer que {X} est d’espérance finie et calculer {\text{E}(X)} en utilisant la loi de {X}.
    • Calculer {E(X)} en utilisant exclusivement la relation de la question 1 (donc sans utiliser la loi de {X}).

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