Probabilité de tirages monotones

Publié le 28/03/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
On note {\mathcal{C}_{p}^{n}} l’ensemble des suites croissantes de {p} éléments de {[[1,n ]]}.
Soit {\mathcal{SC}_{p}^{n}} l’ensemble des suites strictement croissantes de {p} éléments de {[[1,n]]}.

  1. Soit {\phi\colon(u_{1},\ldots,u_{p})\mapsto(u_{1},u_{2}+ 1,\ldots,u_{p}+p-1)}.
    Montrer que \phi est bijective de {\mathcal{C}_{p}^{n}} sur {\mathcal{SC}_{p}^{n+p-1}}.
    En déduire le cardinal de {\mathcal{C}_{p}^{n}}.
  2. On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.

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