Un opérateur « valeur moyenne »

Publié le 04/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2013)

Soit {E} l’ensemble des fonctions continues de {\mathbb{R}^{+*}} dans {\mathbb{R}}.
Soit {T\colon E\rightarrow E}, défini par {T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}.
1. Montrer que {T} est un endomorphisme de {E}.
2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de {T}.
NB : on retrouve l’exercice dans Mines-Ponts Psi 2011 & 2012, Centrale Psi 2011 & 2012.

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