Minimum d’une intégrale à paramètre

Publié le 01/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
On pose {f\colon x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}, où {x} est une variable réelle.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de {f}.

  2. Établir que {f} est continue sur son ensemble de définition.

  3. Trouver un équivalent de {f} en {0}.

  4. Montrer que le graphe de {f} a pour axe de symétrie la droite d’équation {x = 1\text{/}2}.

  5. Déterminer la borne inférieure de {f}.

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