Minimum d’une forme quadratique

Publié le 13/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
On se donne {n\ge 3}, et {h = \dfrac{1}{n}}.
Dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), on définit {D_{1}=\dfrac{1}{h}\begin{pmatrix}1&0&\cdots&\cdots&0\\-1&1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&-1&1&0\\0&\cdots&0&-1&1\end{pmatrix}}

On pose également : {D_{2}=\dfrac{1}{h^{2}}\begin{pmatrix}-2&1&0&\cdots&0\\1&-2&1&\ddots&\vdots\\0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&-2&1\\0&\cdots&0&1&-1\end{pmatrix}}

Dans {\mathbb{R}^{n}}, soit {\left({X}\mid{Y}\right)_{h} = h\displaystyle\sum_{k=1}^{n}X_{k}Y_{k}}. On note {\left\|\cdot\right\|_{h}} la norme associée.

Soient {V\in\mathbb{R}^{n}} et {f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},\;X\mapsto \dfrac{1}{2}\left\|{D_{1}X}\right\|_{h}^{2}-\left({V}\mid{X}\right)_{h}}.

On se propose de démontrer que {f} possède un minimum.

  1. Vérifier que : {D^\top_{1}\,D_{1} = -D_{2}}.

    Montrer que {f} est de classe {{\mathcal C}^{1}} et calculer son gradient en X.

  2. On pose {Y = D_{1}X}. Montrer que : {\forall k \in[\![1,n]\!],\;X_{k} = h\displaystyle\sum_{\ell=1}^{k}Y_{\ell}}.

    En déduire {\left|{X_{k}}\right|\le \left\|{Y}\right\|_{h}} pour tout {k}, puis {\left\|{X}\right\|_{h}\le\left\|D_{1}X\right\|_{h}}.

  3. Montrer que {\forall\, X \in\mathbb{R}^{n},\;f(X)\ge-\dfrac{1}{2}\left\|V\right\|_{h}^{2}} et {\displaystyle\lim_{\left\|{X}\right\|_{h}\rightarrow+\infty} f(X) = +\infty}.
  4. En déduire que {f} possède un minimum que l’on déterminera.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé