Minimum dans un tirage aléatoire

Publié le 14/03/17

(cet exercice est tiré de l’oral Centrale Psi 2015)
On considère une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}.
On tire aléatoirement {k} boules en une seule prise.
On note {X} le plus petit numéro obtenu. Déterminez la loi de {X}.
Calculer la valeur de {S_{n,k}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n-k+1}\dbinom{n-i}{k-1}}, puis {E(X)}.
Une issue {\omega} de l’expérience est une partie à {k} éléments de {[[ 1,n]]}, et il y a équiprobabilité.

Ainsi {\text{card}(\Omega)=\dbinom{n}{k}}, et pour tout évènement {A}, on a : {\mathbb{P}(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}}.

  • Le minimum d’une partie de cardinal {k} de {[[ 1,n]]} est dans {[[ 1,n-k+1]]}.

    Ainsi {X(\Omega)=[[ 1,n-k+1]]}. Soit {i\in X(\Omega)}.

    On doit choisir les {\omega\in\Omega} tels que {\min(\omega)=i}.

    Cela revient à choisir les {k-1} éléments de {\omega\setminus\{i\}} dans {[[ i+1,n]]}.

    Il y a {\dbinom{n-i}{k-1}} possibilités. Ainsi {\mathbb{P}(X=i)=\dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}\dbinom{n-i}{k-1}}.

  • On a bien sûr {\displaystyle\sum_{i\in X(\Omega)}\mathbb{P}(X=i)=1}, donc {\dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}\displaystyle\sum_{i=1}^{n-k+1}\dbinom{n-i}{k-1}=1}.

    En d’autres termes, {\displaystyle\sum_{i=1}^{n-k+1}\dbinom{n-i}{k-1}=\text{card}(\Omega)=\dbinom{n}{k}}.

  • Pour toute variable aléatoire {Y\colon\Omega\to\mathbb{N}} à espérance, on a :{\text{E}(Y)=\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}\mathbb{P}(Y\ge i)}.
    Ici la somme se réduit à {\text{E}(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n-k+1}\mathbb{P}(X\ge i)}.

    Dire que {(X\ge i)} est réalisé, c’est dire qu’on a tiré {k} numéros dans {[[ i,n]]}.

    Il y a pour cela {\dbinom{n-i+1}{k}} possibilités.

    Ainsi {\mathbb{P}(X\ge i)=\dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}\dbinom{n-i+1}{k}}.

    Il en résulte {\text{E}(X)=\dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}\displaystyle\sum_{i=1}^{n-k+1}\dbinom{n-i+1}{k}}.

    Mais {\displaystyle\sum_{i=1}^{n-k+1}\dbinom{n-i+1}{k}} n’est autre que {S_{n+1,k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}}.

    Finalement, on trouve : {\text{E}(X)=\dbinom{n}{k}^{-1}\dbinom{n+1}{k+1}=\dfrac{k!\,(n-k)!\,(n+1)!}{n!\,(k+1)!\,(n-k)!}=\dfrac{n+1}{k+1}}

  • On peut effectuer deux vérifications simples du résultat précédent :

    • Si {k=n} (on tire toutes les boules) alors {\text{E}(X)=1}.

      C’est rassurant car l’évènement {(X=1)} est certain.

    • Si {k=1} (une seule boule), alors {X\leadsto \mathcal{U}_{[[ 1,n]]}}.

      Il est alors normal de retrouver {\text{E}(X)=\dfrac{n+1}{2}}.