Itérées d’une transformation du plan

Publié le 20/03/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2015)
On se place dans le plan euclidien usuel. Soit {\Phi} l’application qui envoie l’origine sur l’origine, et le point {M = (a,b)\ne(0,0)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}.

  1. Exprimer les coordonnées {(a',b')} de {\Phi(M)} en fonction de {a} et {b}.
  2. Étudier la suite {(M_{n})} définie par {M_{0}=M} et {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.

  1. La droite {(PQ)} a pour équation {bx+ay=ab}, et sa normale est dirigée par {(b,a)}.

    Il existe {\lambda\in\mathbb{R}} tel que {\Phi(M)=M+\lambda(b,a)} c’est-à-dire {\begin{cases}a'=a+\lambda b\\b'=b+\lambda a\end{cases}}

    On cherche {\lambda} tel que {(a',b')\in(PQ)} c’est-à-dire {b(a+\lambda b)+a(b+\lambda a)=ab}.

    On trouve {\lambda=-\dfrac{ab}{a^{2}+b^{2}}}.

    Ainsi {a'=a-\dfrac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}} et {b'=b-\dfrac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{b^{3}}{a^{2}+b^{2}}}.

  2. Notons {M_{n}=(a_{n},b_{n})}, à commencer par {\begin{cases}a_{0}=a\\b_{0}=b\end{cases}}

    On a : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\dfrac{a_{n}^{3}}{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}} et {b_{n+1}=\dfrac{b_{n}^{3}}{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\quad(\star)}

    Les suites {(a_{n})_{n\ge0}} et {(b_{n})_{n\ge0}} sont de signe constant.

    D’autre part {\left|{a_{n+1}}\right|=\left|{a_{n}}\right|\dfrac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\le \left|{a_{n}}\right|} et {\left|{b_{n+1}}\right|=\left|{b_{n}}\right|\dfrac{b_{n}^{2}}{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\le \left|{b_{n}}\right|}.

    Les suites {(a_{n})_{n\ge0}} et {(b_{n})_{n\ge0}} sont donc monotones « en direction de {0}« .

    Elles sont donc convergentes, et il en est de même de la suite {(M_{n})_{n\ge0}}.

    La limite des {M_{n}}) dépend la position du point {M} initial.

    Si {a_{0}=0} alors {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\begin{cases}a_{n+1}=0\\b_{n+1}=b_{n}\end{cases}}, donc {M_{n}=M_0=(0,b)} pour tout n.

    De même, si {b_{0}=0}, {M_{n}=M_{0}=(a,0)} pour tout n.

    Dans la suite, on suppose donc {a_{0}\ne0} et {b_{0}\ne0}.

    Avec cette hyptohèse, les suites {(a_{n})_{n\ge0}} et {(b_{n})_{n\ge0}} ne s’annulent jamais.

    Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on pose {\lambda_{n}=\dfrac{b_{n}}{a_{n}}}.

    Les relations {(\star)} donnent : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\lambda_{n+1}=\lambda_{n}^{3},\quad a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{1+\lambda_{n}^{2}}}

    • Premier cas : {\lambda_{0}=\pm1} ({M_{0}} est sur une des bissectrices).

      Dans ce cas, {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\lambda_{n}=\lambda_{0}}, {a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{2}} et {b_{n+1}=\dfrac{b_{n}}{2}}.

      Ainsi {M_{n+1}} est le milieu de {[O;M_{n}]}. Donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}M_{n}=0}.

    • Deuxième cas : {\left|{\lambda_{0}}\right|\lt 1}, c’est-à-dire {\left|{b}\right|\lt \left|{a}\right|}.

      Par une récurrence évidente {\lambda_{n}=\lambda_{0}^{3^{n}}=\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)^{3^{n}}}.

      Ainsi {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\lambda_{n}=0}. Puis {\left|{b_{n}}\right|=\left|{\lambda_{n}}\right|\left|{a_{n}}\right|\le \left|{\lambda_{n}}\right|\left|{a}\right|\to 0}.

      Enfin la relation {a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{1+\lambda_{n}^{2}}} donne :{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_{n}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\lambda_{k}^{2}}=\ell=a\displaystyle\prod_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{1+(\lambda_{0}^{2})^{3^{n}}}>0}Dans ce cas, la suite {(M_{n})_{n\ge0}} converge vers le point {(\ell,0)}.

    • Troisième cas : {\left|{\lambda_{0}}\right|>1}, c’est-à-dire {\left|{a}\right|\lt \left|{b}\right|}.

      Dans ce cas, les rôles de {a} et {b} sont inversés.

      La suite {(M_{n})_{n\ge0}} converge donc vers un point de l’axe {Oy}.