Inégalité et espérance mathématique

Publié le 27/03/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)

  1. Soient {X} et {Y} deux variables aléatoires réelles telles que {X^{2}} et {Y^{2}} admettent une espérance. Montrer que {XY} admet une espérance.
  2. Soient {a\in[0, 1]} et {X} une variable aléatoire positive ayant une espérance.
    Montrer l’inégalité {(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}.

  1. On a {|XY| \le \dfrac{1}{2}(X^2+Y^2)}.

    Comme {X^2} et {Y^2} ont une espérance, il en est de même de {|XY|} donc de {XY}.

  2. On peut écrire {X=X_{1}+X_{2}}, avec {\begin{cases}X_1= X\,\mathbf{1}_{X\ge a\text{E}(X)}\\ X_2=X\,\mathbf{1}_{X\lt a\text{E}(X)}\end{cases}}

    Les variables {X_1,X_2} sont positives majorées par {X}.

    Elles ont donc une espérance et {\text{E}(X)=\text{E}(X_1)+\text{E}(X_2)}.

    De plus {0\le X_2 \le a\text{E}(X)} donc {\text{E}(X_2)\le a\text{E}(X)}.

    Ainsi {\text{E}(X)\le \text{E}(X_1)+a\text{E}(X)}.

    Autrement dit : {(1-a)\text{E}(X)\le \text{E}(X_1)=\text{E}(X\,\mathbf{1}_{X\ge a\text{E}(X)})}.