Une forme linéaire sur IR[X]

Publié le 26/03/17

Pour tout polynôme {P} de {\mathbb{R}[X]}, on pose {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}

  1. Montrer que {S(P)} est bien défini, et que {S} est une forme linéaire.
  2. Avec Python, calculer {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{50}\dfrac{P(k)}{k!}}, avec {P=X^{d}}.

    Idem avec {1\le d\le 10}, puis {P = X^{9}+36X^{6}-X^{3}+X^{2}-3}. Observations ?

  3. On pose {H_{0} = 1} et, pour {n\in\mathbb{N}}, {H_{n+1}=(X-n)H_{n}}.
    Montrer que {(H_{n})_{n\in\mathbb{N}}} est une base de {\mathbb{R}[X]}.
  4. Calculer {S(H_{n})} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
    Comment calculer {S(P)} pour {P} quelconque?

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