Une forme linéaire sur IR[X]

Publié le 26/03/17

Pour tout polynôme {P} de {\mathbb{R}[X]}, on pose {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}

  1. Montrer que {S(P)} est bien défini, et que {S} est une forme linéaire.
  2. Avec Python, calculer {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{50}\dfrac{P(k)}{k!}}, avec {P=X^{d}}.

    Idem avec {1\le d\le 10}, puis {P = X^{9}+36X^{6}-X^{3}+X^{2}-3}. Observations ?

  3. On pose {H_{0} = 1} et, pour {n\in\mathbb{N}}, {H_{n+1}=(X-n)H_{n}}.
    Montrer que {(H_{n})_{n\in\mathbb{N}}} est une base de {\mathbb{R}[X]}.
  4. Calculer {S(H_{n})} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
    Comment calculer {S(P)} pour {P} quelconque?

  1. Si {P\ne0} a pour coefficient dominant {a_{d}X^{d}}, alors {\dfrac{\left|P(k)\right|}{k!}\sim\left|a_{d}\right|\dfrac{k^{d}}{k!}}.

    C’est le terme général d’une série convergente.

    La fonction {S} (nulle sur {P=0}) est donc définie sur {\mathbb{R}[X]}, et est clairement linéaire.

  2. On commence par importer la constante \text{e} et la fonction \text{factorial}.

    On calcule ensuite les valeurs demandées avec {P=X^{d}}, pour {1\le d\le 10}.

    Voici la définition du polynôme P.

    On peut supposer que {S(P)=28449\text{e}}.

  3. La famille {(H_{n})} est à degrés échelonnés (on a {\deg(H_{n})=n}), donc est libre.

    Ainsi {(H_{0},H_{1},\ldots,H_{n})} forment une base de {\mathbb{R}_{n}[X]}.

    Plus généralement {(H_{n})_{n\in\mathbb{N}}} est une base de {\mathbb{R}[X]}.

  4. Soit {n\in\mathbb{N}}. On a : {H_{n}=\displaystyle\prod_{j=0}^{n-1}(X-j)} donc {H_{n}(k)=0} si {0\le k\lt n}.

    Si {k\ge n}, on a : {H_{n}(k)=\displaystyle\prod_{j=0}^{n-1}(k-j)=\dfrac{k!}{(k-n)!}}.

    Ainsi {S(H_{n})=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{H_{n}(k)}{k!}=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{1}{(k-n)!}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}=e}.

    Pour calculer {S(P)} avec {P\in\mathbb{R}[X]}, il suffit d’écrire {P} sur la base des {(H_{n})_{n\ge 0}}.

    Si {P=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\lambda_{k}H_{k}}, alors {S(P)=e\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\lambda_{k}} (la somme est finie).

    Ce n’est pas demandé, mais on va essayer d’automatiser tout ça.

    Soit {P=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\lambda_{j}H_{j}}.

    Pour {0\le i\le n-1}, on a {P(i)=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\lambda_{j}H_{j}(i)=\displaystyle\sum_{j=0}^{i}\lambda_{j}\dfrac{i!}{(i-j)!}}.

    Soit {U_{n}} la colonne des {P(i)} ({0\le i\le n}) et {V_{n}} celle des {\lambda_{j}} ({0\le j\le n}).

    Soit {T_{n}\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})} triangulaire inférieure avec {t_{i,j}=\dfrac{i!}{(i-j)!}} si {0\le j\le i\le n}.

    Avant ces notations, on a {U_{n}=T_{n}V_{n}}.

    Voici une fonction formant la matrice {H_{n}} (carrée d’ordre {n+1}).

    On calcule par exemple la matrice T_4 :

    Voici une fonction V(P,n), où {P} est polynomiale et où {n} est le degré de {P}. Elle renvoie le vecteur {V} des coordonnées {(\lambda_{i})_{0\le i\le n}} de {P} sur la base {(H_{i})_{0\le i\le n}} de {\mathbb{R}_{n}[X]}, ainsi que la somme des composantes de {V}. Pour cela, elle forme le vecteur {U} des {P(i)}, pour {0\le i\le n}, et elle résoud le système {T_{n}V_{n}=U_{n}}.

    On rappelle la définition du polynôme P :

    Voici ce que renvoie la fonction V> avec le polynôme {P} défini ci-dessus, de degré {9}.

    En corrigeant l’erreur d’arrondi, on trouve donc, d’une part :
    {\begin{array}{rl}P&=-3H_{0}+37H_{1}+1369H_{2}+6264H_{3}+10110H_{4}\\&+7491H_{5}+2682H_{6}+462H_{7}+36H_{8}+H_{9}\end{array}}et d’autre part : {\begin{array}{rl}S(P)&=(-3+37+1369+6264+10110\\&+7491+2682+462+36+1)\,\text{e}\\&=28449\,\text{e}\end{array}}