Équation fonctionnelle f(qz)-f(z)=g(z)

Publié le 02/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
On note {\left\|\cdot\right\|} l’application distance aux entiers relatifs.
Soit {E} l’ensemble des fonctions {f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}} développables en série entière de rayon +\infty.
Soient {g\in E} et {q\in\mathbb{C}}.
Soit (*) l’équation {\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}, où {f} est cherchée dans {E}.

  1. Si {|q|\ne 1}, montrer que (*) a une solution si et seulement si {g(0) = 0}.
    Donner alors l’ensemble des solutions de (*).

  2. Soient {\,\theta\in\mathbb{R}}, et {q = \exp(2i\pi\,\theta)}.

    • Montrer que pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}}, on a: {4\left\|{n\,\theta}\right\|\le\left|{q^{n}-1}\right|\le 2\pi\left\|{n\,\theta}\right\|}.

    • On dit que {\,\theta} est lentement approché si: {\exists\, c\in\mathbb{R}^{+*},\;\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;c^{n}\le\left\|{n\,\theta}\right\|}.
      Un nombre rationnel peut-il être lentement approché ?

    • Montrer que les assertions (i) et (i) suivantes sont équivalentes :
      (i) {\,\theta} est lentement approché
      (ii) (*) a une solution si et seulement si {g(0) = 0}.

  1. Posons {\forall\, z\in\mathbb{C},\;g(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}z^{n}}.
    Cherchons {f} sous la forme: {\forall\, z\in\mathbb{C},\;f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}}.

    L’équation (*) s’écrit alors : {\forall\, z\in\mathbb{C},\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}(q^{n}-1)z^{n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}z^{n}}.

    Cette équivaut donc à: {\forall\, n\in\mathbb{C},\;a_{n}(q^{n}-1)=b_{n}}.

    Si f existe, alors nécessairment {b_{0}=0}, c’est-à-dire {g(0)=0}.

    Réciproquement, si {g_{0}=0}, alors: {\forall\, n\ge1,\;a_{n}=\dfrac{b_{n}}{q^{n}-1}}.

    On a alors {\left|a_{n}\right|\sim\left|b_{n}\right|} si {\left|{q}\right|\lt 1} et {\left|{a_{n}}\right|={\text{o}}(\left|{b_{n}}\right|)} si {\left|{q}\right|>1}.

    Dans les deux cas, le rayon de convergence de {\displaystyle\sum a_{n}z^{n}} est encore {+\infty}.

    La condition {g(0)=0} est donc nécessaire et suffisante.

    Conclusion : les solutions sont les {f\colon z\mapsto a_{0}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{b_{n}}{q^{n}-1}z^{n}}, où {a_{0}\in\mathbb{C}}.

    • Pour {n} fixé dans {\mathbb{N}^{*}}, posons {n\,\theta=\lfloor n\,\theta\rfloor+r}, avec {0\le r\lt 1}.

      Avec ces notations, on a: {\left\|{n\,\theta}\right\|=\min(r,1-r)}.

      Alors {q^{n}-1=\exp(2i\pi r)-1=2\exp(i\pi r)i\sin(\pi r)}.

      On en déduit: {\left|{q^{n}-1}\right|=2\sin(\pi r)}.
      article-01:03:17
      Il suffit d’observer la figure ci-dessus pour voir que :
      {\forall\, r\in[0,1],\;2\min(r,1-r)\le \sin(\pi r)\le \pi\min(r,1-r)}On en déduit ici: {4\left\|{n\,\theta}\right\|\le\left|{q^{n}-1}\right|\le 2\pi\left\|{n\,\theta}\right\|}.

    • La réponse est non.

      En effet, si {\,\theta\in\mathbb{Q},\;\exists n\in\mathbb{N}^{*},\;\left\|{n\,\theta}\right\|=0} donc {c^{n}\le \left\|{n\,\theta}\right\|} est impossible.

    • — On suppose que {\,\theta} est lentement approché.

      En particulier {\,\theta} est irrationnel, donc {q^{n}\ne1} pour {n\in\mathbb{N}^{*}}.

      Comme dans (1), il faut que {g(0)=0} pour qu’il existe des solutions à l’équation (*).

      Si {g(0)=0}, une solution éventuelle s’écrive {f\colon z\mapsto a_{0}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{b_{n}}{q^{n}-1}z^{n}}, où {a_{0}\in\mathbb{C}}.

      Mais par hypothèse, il existe {C\in\mathbb{R}^{+*}} tel que: {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\left\|{n\,\theta}\ge c^{n}\right\|}.

      Ainsi, pour {n\ge1}, {b_{n}=\dfrac{a_{n}}{q^{n}-1}} vérifie {\left|{b_{n}}\right|=\dfrac{\left|{a_{n}}\right|}{\left|{q^{n}-1}\right|}\le \dfrac{\left|{a_{n}}\right|}{4\left\|{n\,\theta}\right\|}\le \dfrac{a_{n}}{4\,c^{n}}}.

      Tout comme {\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}, {\displaystyle\sum a_{n}\Bigl(\dfrac{z}{c}\Bigr)^{n}} donc {\displaystyle\sum b_{n}z^{n}}, sont de rayon infini.

      Les {f\colon z\mapsto a_{0}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{b_{n}}{q^{n}-1}z^{n}}, où {a_{0}\in\mathbb{C}}, sont donc solutions de (*).

      — On suppose maintenant que {\,\theta} n’est pas lentement approché.

      Là encore, {g(0)=0} est nécessaire pour (*) ait des solutions.

      Il faut montrer que ça n’est pas suffisant.

      Si {\,\theta} est rationnel, il existe {n\in\mathbb{N}^{*}} tel que {q^{n}-1}.

      Si {b_{n}\ne 0}, l’égalité {a_{n}(q^{n}-1)=b_{n}} est impossible.

      La condition {g(0)=0} n’est donc pas suffisante.

      On suppose finalement que {\,\theta} est irrationnel.

      {\,\theta} n’étant pas lentement approché, {\nexists c>0,\;\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;c^{n}\le\left\|{n\,\theta}\right\|}.

      La suite {n\mapsto \left\|{n\,\theta}\right\|^{1/n}} n’est donc minorée par aucun réel strictement positif.

      Il existe alors {\varphi\colon\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N}}, strictement croissante, telle que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left\|{\varphi(n)\,\theta}\right\|^{1/\varphi(n)}=0}.

      On pose alors {g(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left\|{\varphi(n)\,\theta}\right\|z^{\varphi(n)}}. C’est une série entière lacunaire.

      Avec {u_{n}=\left\|{\varphi(n)\,\theta}\right\|z^{\varphi(n)}}, on a {\left|{u_{n}}^{1/\varphi(n)}\right|=\left\|{\varphi(n)\,\theta}\right\|^{1/\varphi(n)}\left|{z}\right|\lt \dfrac{1}{2}} pour {n} assez grand.

      Ainsi {\left\|{\varphi(n)\,\theta}\right\|\left|{z}\right|^{\varphi(n)}\le \dfrac{1}{2^{\varphi(n)}}\le \dfrac{1}{2^{n}}} pour {n} assez grand.

      Il en résulte que la série {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left\|{\varphi(n)\,\theta}\right\|z^{\varphi(n)}} converge.

      La série entière {z\mapsto g(z)} est donc de rayon infini, et elle vérifie bien sûr {g(0)=0}.

      Une solutionde (*) s’écrirait {f(z)=b_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}z^{n}}, {b_{0}\in\mathbb{C}}, {b_{n}=\dfrac{a_{n}}{q^{n}-1}} si {n\ge1}.

      En particulier, et d’après (2a): {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;\left|b_{\varphi(n)}\right|=\dfrac{\left\|\varphi(n)\,\theta\right\|}{\left|q^{\varphi(n)}-1\right|}\ge\dfrac{1}{2\pi}}.

      Le rayon de convergence de {f} vérifie alors {R\ge1}, donc (*) n’a pas de solution (avec la fonction {g} choisie): la condition {g(0)=0} n’est donc pas suffisante.